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Complexes : Formes trigo, expo

Dans cette vidéo, Paul explique comment calculer exponentielle de e i alpha et comment traiter différents cas pour les formes exponentielles de nombres complexes. Il insiste sur la compréhension de la notation et la distinction entre exponentielle de e i alpha et exponentielle puissance e, le tout puissance i alpha. Il montre ensuite comment exprimer e i alpha en forme module argument et comment prendre en compte les cas où le module est égal à 0 ou l'argument n'existe pas. Il explique également comment obtenir l'argument d'un produit de nombre complexe et quand il est positif ou négatif. Tout cela est présenté de manière claire et structurée pour une meilleure compréhension.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une petite vidéo sur les complexes et la forme exponentielle. Donc la première erreur qu'il ne faut pas faire sur cet exercice c'est de confondre, de mal interpréter cette notation. Il ne faut pas confondre, du moins, quand on a exponentielle de e i alpha, et bien c'est bien égal à exponentielle de e i alpha et pas exponentielle puissance e, le tout puissance i alpha. Donc c'est bien primordial de comprendre ça et ne pas confondre les deux notations. Donc s'il y a des parenthèses comme ça ce sera bien dans ce cas là, mais s'il n'y a pas de parenthèses comme ça là, et bien c'est bien dans ce cas là qu'on se trouve. Donc on passe à l'exercice maintenant. Donc comment on fait pour calculer exponentielle de e i alpha? Et bien on va exprimer ce que c'est e i alpha. Donc e i alpha c'est e sin alpha plus i sin alpha. Maintenant on sépare avec les règles de calcul sur l'exponentielle. Donc on a un produit d'exponentielle, exponentielle de cos alpha, exponentielle i sin alpha. Exponentielle de cos alpha est un réel positif et sin alpha est un réel, donc on a notre forme module argument. Ainsi le module est égal à exponentielle de cos alpha, et l'argument est congru à sin alpha modulo 2pi. Voilà, on entoure et on passe au nombre suivant. Donc le nombre suivant c'est e i theta plus e i 2 theta. Donc ça vous devez direct penser à somme d'exponentielle similaire, donc on va en angle moitié. Donc l'angle moitié, e i 3 theta sur 2, facteur de e i theta sur 2 plus e i theta sur 2, donc là on a un plus, donc c'est cosinus. De cosinus theta sur 2, e i 3 theta sur 2, de là à là on est passé grâce aux formules de l'air. Ainsi on a un réel, une exponentielle, i, un réel. Donc on est sous une sorte de forme module argument, sauf que le seul truc qui cloche c'est que ce pseudo module ce n'est pas forcément un module parce que le cosinus peut être négatif. Donc pour remédier à ça on va dire que le module c'est la valeur absolue de ce cosinus, mais dans le cas où le cosinus est négatif, on va devoir ajouter un plus pi à l'argument. Un autre cas à traiter c'est quand le module est égal à 0 ou l'argument n'existe pas. D'abord le cas où le module est égal à 0, donc c'est si theta est dans cet ensemble, ça veut dire que le module est égal à 0, donc ça veut dire que cosinus theta sur 2 est égal à 0. Mais donc s'il n'y est pas, si theta n'est pas dans cet ensemble, alors notre nombre est différent de 0 et il possède un argument. Donc on peut calculer son argument. Cet argument est égal à 3 theta sur 2 plus l'argument de cos theta sur 2, parce que c'est l'argument de ce nombre. Donc l'argument d'un produit de nombre complexe est égal à la somme de chacun des arguments de nombre complexe. Donc ici c'est l'argument de EI 3 theta sur 2, et l'argument de cos theta sur 2. cos theta sur 2 étant 1 réel, son argument est soit égal à 0 si il est positif, ou à pi si il est négatif. Donc on va voir quand est-ce qu'il est positif, et ça nous donnera aussi quand est-ce qu'il est négatif ou quand il n'est pas positif. Donc quand est-ce que cos theta sur 2 est strictement positif? Eh bien si theta sur 2 modulo 2pi appartient à moins pi sur 2 pi sur 2, on simplifie, theta modulo 4pi appartient à moins pi pi. Ainsi on a les conditions pour notre argument, on a tout ce qu'il faut. Si theta n'appartient pas à pi facteur de 2k plus 1 avec k appartenant à z, l'argument de notre nombre complexe existe, et cet argument est égal à 3 theta sur 2 si notre cos theta sur 2 est positif, donc là j'ai renoté la condition, et sinon il est égal à 3 theta sur 2 plus pi si cos theta sur 2 est négatif, donc ça veut dire que theta modulo 4pi appartient au complémentaire de moins pi pi dans moins 2pi de pi, parce qu'on est modulo 4pi. Donc c'est cet ensemble. Sinon on aurait pu dire, là pour ici, n'appartient pas à moins pi pi aussi, on veut aller vite, mais c'est mieux d'exprimer l'ensemble, c'est plus propre. Donc on entoure et c'est fini. Voilà, à la prochaine!

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