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Complexes : Formes trigo, expo

Dans cette leçon, Paul résout des équations avec des nombres complexes en utilisant la forme exponentielle. Il explique comment mettre des nombres complexes sous forme exponentielle en utilisant les valeurs des sinus et des cosinus sur le cercle trigonométrique. Il montre comment résoudre des équations avec des racines de l'unité en divisant un nombre complexe par lui-même et en le faisant passer dans l'ensemble des racines de l'unité. Enfin, il rappelle qu'une équation de ce type aura généralement quatre à six solutions.

Salut c'est Paul et aujourd'hui on va s'attaquer à un exercice sur encore la manipulation de la forme exponentielle et surtout une méthode fondamentale de résolution d'équations avec cette forme exponentielle. Ok c'est parti! L'exercice consiste à d'abord mettre sous forme exponentielle u et v et résoudre dans c les équations z puissance 6 égale à u et z puissance 4 égale à v. Donc là il faudra réussir la première question pour réussir la deuxième question. Donc déjà ce qui nous fait penser là on a racine de 3, racine de 3, 1-i, 1 plus i racine de 3, c'est des nombres qui ont une tête quand même. En fait comment on va les mettre sous forme exponentielle? Il y a une façon très rapide de faire ça, c'est d'utiliser nos connaissances sur les valeurs des cosinus et de sinus et la façon dont ça s'arrange sur le cercle trigonométrique dans le plan complexe. Ok je vous explique ça tout de suite. Visuellement on identifie les angles e i pi sur 6 à cosinus pi sur 6, sinus pi sur 6, e i pi sur 4, la valeur de cosinus pi sur 4 et sinus pi sur 4, pi sur 3, valeur de cosinus pi sur 3 et sinus pi sur 3. Donc ces valeurs vous les connaissez déjà grâce à vos cours sur les fonctions trigonométriques. Il faut maintenant transférer ce cours au complexe, voir les complexes dans le cercle trigonométrique. Ça comment ça nous permet de nous aider? On va le voir tout de suite. Donc u 1 plus i racine de 3, 1-i racine de 3. Là vous voyez on a du racine de 3 et du 1. Si on factorise par 2, on a 1 demi racine de 3 sur 2, 1 demi moins i racine de 3 sur 2. Donc en haut c'est bon, ça correspond à 1 demi racine de 3 sur 2, i pi sur 3. Et en bas on a un moins là ici. En fait c'est pas compliqué, il suffit de prendre la symétrie et on a moins racine de 3 sur 2, e i de moins pi sur 3. Voilà c'est simple que ça. Et maintenant on remplace e i pi sur 3 sur e de moins i pi sur 3, u est égal à e de 2 pi sur 3. Voilà e i de pi sur 3. Donc c'est extrêmement rapide et il n'y a pas besoin de faire des calculs longs pour multiplier par le conjugué. Si on essaye de faire apparaître des valeurs remarquables comme celle là, 1 demi plus racine de 3 sur 2, racine de 3 sur 2 plus 1 demi ou pi sur 4 ici, on va souvent pouvoir faire apparaître du pi sur 4 parce que vous voyez là, la partie réelle et la partie imaginaire sont égales. Maintenant on passe au deuxième à z. On va utiliser le fait que 1 sur racine de 2 est égal à racine de 2 sur 2. C'est quelque chose qu'il faut passer très vite de l'un à l'autre et c'est très utile dans les complexes. Donc là 1 moins i, vous voyez que à aussi mieux près, la partie réelle est égale à la partie imaginaire. Donc là il faut penser directement quand la partie réelle et la partie imaginaire sont égales au signe près à ces pi sur 4. Il y a un pi sur 4 quelque part, ou en tout cas c'est dans un des 4 rangs. Donc là on factorise par racine de 2 en haut et en bas c'est pareil, c'est la même chose que ici. 1 plus i racine de 3 donc c'est e i pi sur 3. On factorise par 2 ici et racine de 2 sur 2 racine de 2 sur 2, e de moins i pi sur 4. Parce que nous avons la partie réelle racine de 2 sur 2 donc ici et partie imaginaire moins racine de 2 sur 2 ici et racine de 2 sur 2, e de moins i pi sur 4. Maintenant on simplifie et c'est fini. Très rapide vous voyez là je vous expliquais mais ça se fait en quelques secondes. Il faut avoir le réflexe d'identifier ces valeurs remarquables et ça va beaucoup plus vite que faire les calculs. Ok maintenant qu'on a les valeurs de u et v on va résoudre dans c les équations z puissance 6 égale à u et z puissance 4 égale à v. On va les résoudre par équivalence. On écrit l'équation z puissance 6 égale à e de 2 i de pi sur 3 donc u. La technique consiste à quand on a un z puissance quelque chose est égal à 1, un nombre complexe, il faut diviser par ce nombre complexe s'il n'est pas égal à 0, si on est sûr qu'il n'est pas égal à 0 et s'il est égal à 1. Et là pour faire apparaître un 1. Pourquoi? Parce que ça nous permet d'utiliser nos connaissances sur les racines de l'unité. La solution ça veut dire que ici z sur e i pi sur 9 appartient aux racines 6e de l'unité. C'est la définition même des racines 6e de l'unité. Donc ça veut dire, pour rappel les racines 6e de l'unité c'est l'ensemble e de zi k pi sur 6, k appartient à 0 à 5. Donc c'est les nombres complexes tels que mi à la puissance 6 ils font 1. Racine 6e de l'unité. Ainsi z puissance égale à u. Maintenant on fait passer le e i pi sur 9 entre guillemets, on le fait passer de l'autre côté dans l'ensemble et on obtient le résultat. C'est très simple comme ça. On va le refaire avec 4 mais là on va utiliser les racines 4e de l'unité. Pareil, voilà donc z égale à z4. Là j'ai déjà fait passer v au dénominateur pour faire apparaître 1, 1. On met la puissance en facteur si j'ose dire. Là on a du 2 puissance 1 demi donc divisé par 4, 2 puissance 1 huitième donc racine de 2 c'est 2 puissance 1 demi. Si on veut factoriser par la puissance on va dire qu'il faut diviser les puissances par 4. Donc si on divise 1 demi par 4 ça fait 1 huitième. Pareil pour 7 pi sur 3, si on divise la puissance ici par 4 ça nous fait du 3. Ainsi on a 2 puissance 1 huitième z divisé par e i moins i 7 pi sur 3 puissance 4 égale à 1. Donc ça rend qu'on va le nommer x. L'équation originale est équivalente à x appartient aux racines quatrièmes de l'unité. Ainsi on fait passer tout ça dans l'ensemble et on obtient ce nombre là. Les solutions de l'équation sont donc cet ensemble là. Il faut bien comprendre en fait que quand on a une équation de ce type là z puissance un nombre entier est égal à un complexe il y a toujours quatre solutions, ici six solutions. Donc il faut s'attendre à trouver de 0 à 5 six solutions, de 0 à 3 quatre solutions parce qu'à chaque fois c'est les racines sixièmes de l'unité, les racines quatrièmes de l'unité, une variante des racines de l'unième de l'unité. Voilà alors je vous souhaite une bonne soirée.

Racine n-ième

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