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Limites

Paul présente un exercice de manipulation des définitions de limite et de continuité. Le but est de montrer, en utilisant uniquement la définition, que la limite de 3x-1 sur x-5 quand x tend vers 5 par valeur supérieure est égale à plus l'infini. Paul rappelle la définition de la limite et montre comment trouver epsilon en utilisant le fait que x est supérieur ou égal à 5. Ensuite, Paul montre comment prouver la continuité de la fonction en tous points de l'ensemble de définition, à l'exception de 5. Pour cela, il utilise la définition de la continuité et exprime f de x moins f de A en fonction de x moins A. Il restreint ensuite l'ensemble de x et choisit mu pour contrôler x moins A. Enfin, il montre que f de x moins f de A est inférieur ou égal à epsilon en choisissant le mu approprié.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une vidéo sur un exercice pour manipuler les définitions de la limite et de la continuité. Ok c'est parti. Donc là l'exercice nous indique qu'il faut montrer en revenant à la définition, donc en utilisant uniquement la définition, que la limite de 3x-1 sur x-5 quand x tend vers 5 par valeur supérieure est égale à plus l'infini. Ok donc là tout de suite au brouillon, on va se rappeler la définition de la limite. Donc il faut que quelque soit m, dans R plus étoile, donc on le prend dans R plus étoile parce que c'est toujours utile dans les inégalités. Normalement dans la définition que vous avez sûrement, il est dans R mais en plus l'infini, on peut le prendre dans R plus étoile et au contraire pour moins l'infini, on peut le prendre dans R moins étoile, ça ne change rien. A part que ça nous facilite la vie. Donc il existe un epsilon positif tel que pour toute x dans 5 plus l'infini parce qu'on est par valeur positive ici, si x est epsilon près de 5, c'est ce que ça veut dire ici, 3x-1 sur x-5 est supérieur ou égal à m. Donc on a plusieurs choses à montrer dans l'ordre. Donc on prend un m fixé quelconque dans R plus étoile et maintenant au brouillon on veut déterminer un epsilon tel que on a bien 3x-1 sur x-5 qui est supérieur ou égal à m. Donc 3x-1 déjà x est supérieur ou égal à 5, donc on peut simplifier le O et quand est-ce que ça là c'est supérieur ou égal à m? Eh bien en fait si x-5 est inférieur ou égal à 14 sur m. Et pourquoi j'ai fait apparaître du x-5 ici? Parce qu'en fait l'epsilon va agir sur ce x-5. C'est pour ça que là j'ai simplifié ce 3x-1 avec le fait que x est supérieur ou égal à 5. Et j'ai fait apparaître ce x-5 parce que ce epsilon ne donne des informations que sur ce x-5. Donc ça va nous simplifier la tâche plus tard. Et donc il faut que ce x-5 soit inférieur ou égal à 14 sur m. Et voilà, là on a notre epsilon. Sur la feuille d'exercice on pose epsilon égal à 14 sur m. Il est bien supérieur ou égal à 0. Encore une utilité du fait que m ici soit strictement positif. Outre le fait ici qu'on a divisé par m. Donc on a posé notre epsilon et maintenant on prend un x tel que x-5 est inférieur ou égal à epsilon. Donc x-5 est inférieur ou égal à 14 sur m parce qu'on a posé epsilon égal à 14 sur m. Et x-5 est inférieur ou égal à epsilon. De plus, la valeur absolue de x-5 est égale à x-5 parce que x est supérieur ou égal à 5. Donc ça implique que m est inférieur ou égal à 14 sur x-5. On peut faire ça parce que tout ça c'est positif. Et on remarque que 3x-1 est supérieur ou égal à 14 vu que mx est dans 5 plus infini. Ainsi, 3x-1 sur x-5 est supérieur ou égal à m. Ainsi, on a prouvé par définition que la limite de 3x-1 sur x-5 par valeur positive quand x est envers 5 est égale à plus infini. Maintenant, on passe à la question 2, c'est la continuité. Ça va être similaire et pour la méthodologie c'est plus ou moins pareil. On va réécrire ce que ça veut dire qu'elle soit continue avec la définition. On veut que les continuités soient en tous points de R privé de 5 parce qu'on voit bien qu'elle n'est pas définie en x-5. Donc, la continuité est une propriété ponctuelle donc il faut la prouver pour chaque point de l'ensemble dont on veut. Donc, en tous points ici c'est ça et après c'est la continuité en A. Donc, quel que soit ε strictement positif, il existe un μ strictement positif tel que pour toute x dans l'ensemble de définition, si x est μ proche de A, alors ça implique que f de x est ε proche de A. C'est ça la définition de la continuité. Donc, on a des choses à prouver, je les ai colorées pour nous rappeler où on en est dans la démonstration. Donc, on prend un A du domaine de définition et on va essayer d'exprimer f de x moins f de A parce que de manière ultime c'est ce qu'on veut, mais on veut voir quel μ poser. Donc, quel que soit x appartenant à R privé de 5, f de x moins f de A, c'est ça. Et en fait, si on simplifie ça, on va vouloir faire apparaître ici du x moins A parce que c'est sur ça qu'agit le μ, pareil. Donc là, on a du 14 fois x moins A valeur absolue divisé par x moins 5, x moins A. Ce x moins 5 nous gêne parce qu'il est variable, il dépend de x, mais il n'est pas du x moins A parce que le x moins A, on sait le quantifier. Et ce A moins 5 ne nous gêne pas parce que c'est une constante, A est fixé. Donc, maintenant on va essayer de faire disparaître ce x moins 5. Donc, l'astuce est de se restreindre à A moins 5 sur 2 et A plus A moins 5 sur 2. Pourquoi? Parce que dans ce cas-là, x moins 5 est strictement supérieur ou égal à A moins 5 sur 2. Pourquoi? Ça va nous permettre de se débarrasser de ce x moins 5 et de l'exprimer en fonction de A moins 5. Et pourquoi ça? Parce qu'on voit bien que l'ensemble est centré autour de A et x, s'il est dans cet ensemble, va être plus loin que de 5, que de A moins 5 sur 2. Et ça, on peut le faire parce qu'on peut se rapprocher de A, on peut dire que x est proche de A, parce qu'en fait, il suffit de choisir un mu bien placé pour que le mu va restreindre x moins A. Donc, il va restreindre x autour de A. Donc, si on se rapproche de A, ce n'est pas grave. On peut se rapprocher de A autant qu'on veut pour trouver les bonnes relations. Donc, avec ça, pour tout x dans cet ensemble, on a f de x moins f de A inférieur ou égal à 28 sur A moins 5 au carré fois x moins A. Donc là, c'est une constante et là, on a bien notre x moins A. Donc, c'est x moins A qu'on va pouvoir contrôler avec notre mu. Maintenant, ça c'est inférieur ou égal à mu et il va falloir choisir mu bien pour que ça soit inférieur ou égal à epsilon. C'est ce qu'on veut, f de x moins f de A inférieur ou égal à epsilon. Donc, on reprend la démonstration. On prend epsilon strictement inférieur ou égal à 0 et on pose mu, le minimum entre A moins 5 sur 2 ici. Pourquoi? Parce que pour que tout ça soit valable, on veut que x soit dans cet ensemble et que mu nous permette de faire apparaître du epsilon ici. Donc là, on a mis ça qui nous permet de dire que ici, c'est bien inférieur ou égal à epsilon. On pose mu égale le minimum de ces deux nombres et on prend un x dans le domaine des définitions tel qu'il est mu proche de A. Et donc, comme il est mu proche de A et qu'il est inférieur à mu ici, mais que mu est le minimum entre ces deux chiffres, il est aussi inférieur ou égal à A moins 5 sur 2. Il appartient à cet ensemble. Ainsi, f de x moins f de A est inférieur ou égal à 28 sur A moins 5 au carré sur x de A. Parce qu'on a ça qu'on vient de calculer avant. Mais comme ça est inférieur ou égal à mu et que mu est inférieur ou égal à A moins 5 carré sur 28 epsilon, ça simplifie ça. Et on a bien f de x moins f de A inférieur ou égal à epsilon. Donc f est continu sur r privé de 5. Et on a bien fini la démonstration. C'est un peu compliqué, mais si on décompose bien ici, on écrit bien la définition et on se rappelle bien ce qu'il faut faire, c'est relativement simple. Le but c'est de s'entraîner, d'en faire plein et vous y arriverez tout seul. C'est la fin de cet exercice et on se dit à une prochaine fois.

Limite et continuité avec la définition formelle

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