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Limites

Dans cet exercice de mathématiques, on cherche à démontrer que la limite d'une fonction bornée est égale à 0. Pour cela, on utilise la définition de la limite, puis on procède par l'absurde. On suppose que la limite est strictement supérieure à 0 et on montre que cela entraîne une contradiction car la fonction dépasserait sa borne. Finalement, on conclut que la limite est bien égale à 0.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour ce nouvel exercice où on va parler de fonction, de limite et c'est un exercice un peu ouvert pour changer. Donc on prend une fonction f qui va de R plus dans R qui est bornée et telle que f2x plus 1 moins f2x tend vers la limite L quand L est supérieur ou égal à 0. On va montrer que L égale à 0. En fait ici le L supérieur ou égal à 0 n'influe pas vraiment sur l'exercice, ça ne permet d'éviter de traiter le cas L inférieur ou égal à 0, c'est pratique. Donc on va supposer que L est strictement supérieur ou égal à 0. Donc on va, comme vous l'avez deviné, procéder par l'absurde et maintenant on écrit ce qu'on sait. F est bornée donc il existe un M donc voilà maintenant on l'a nommé, la borne, tel que quel que soit x appartient à R plus, la valeur absolue de x est inférieur ou égal à M. Par définition de la limite maintenant on va exprimer ce que c'est que cette limite. On va l'appliquer pour epsilon reçoit L sur 2. Là on peut utiliser L parce que L est strictement supérieur ou égal à 0, on l'a supposé. Et par définition de cette limite on utilise L sur 2. Pourquoi? Vous allez voir tout de suite. En fait la définition de cette limite qu'on va nommer ici, et petit étoile cette proposition, il existe un A strictement supérieur ou égal à 0 tel que quel que soit x plus R égal à L, f de x plus 1 moins f de x est compris entre L moins L moins 2 et L plus L sur 2. Pourquoi on a choisi ce L sur 2 ici, epsilon? Parce qu'en fait ça nous permet que ce nombre ici soit strictement positif et donc ça peut nous aider. C'est toujours un peu une astuce que j'ai quand on sait qu'on va devoir choisir un epsilon en particulier. Sinon epsilon aurait pu être plus grand que L ici et donc là ça aurait pu être négatif donc ça ne nous arrange pas. Maintenant là tout est positif c'est plus simple de travailler avec les inégalités, on a moins à y penser. Maintenant on va appliquer cette inégalité. On prend un x0 supérieur ou égal à A et un n dans n étoiles. L'astuce ça va être d'appliquer cette relation étoile ici pour x reçoit x0 plus k. On va essayer de faire apparaître du f de x plus k moins f de x. Pour k allant de 0 à n moins 1. On a ainsi, quel que soit k appartient à 0 à n moins 1, on applique la relation étoile. Vu que x0 est supérieur ou égal à A, donc x0 plus k plus k est aussi supérieur ou égal à A. On a bien que f de x0 plus k plus 1, ici on a remplacé x par x0 plus k, moins f de x0 plus k est compris entre 3L sur 2 et L sur 2. J'ai juste simplifié l'encadrement. Maintenant on somme cet encadrement sur k. La somme pour k allant de 0 à n moins 1. Pourquoi j'ai de 0 à n moins 1? Comme ça j'ai n, ça simplifie les choses. On remarque que cette somme ici au milieu c'est une somme télescopique. Les termes se simplifient de à à 2. Il va rester quoi? Il va rester le dernier terme ici en plus 1 et le premier terme ici en plus 0, en n moins 1 plus 1, donc en n, et là en 0. Ça nous donne du f de x0 plus n moins f de x0 est compris entre n, 3L sur 2 et n, L sur 2. Maintenant la contradiction va venir du fait que f va être borné et on va pouvoir trouver un x tel que f sera strictement supérieur à m. On a prouvé ça pour un n quelconque ici. C'est cet n qui va nous permettre d'agir sur cet x. Si on fait tendre n vers plus l'infini, f de x0 plus n moins f de x0, x0 reste fixé et n tend vers plus l'infini. Donc ça tend vers plus l'infini et tout ça va forcément tendre vers plus l'infini. Sauf que vu que ça c'est fixé, on va voir que ça ne va plus être borné. Comment on le met en place en pratique? On remarque ici qu'on a prouvé que quelque soit n appartenant à n étoiles. Donc là on avait n ici fixé et maintenant on prend quelque soit n. Donc n n'est plus fixé mais x0 reste fixé. Donc x0 ça reste un nombre fixé, ce n'est plus une variable. Donc f de x0 plus n strictement supérieur ou égal à nl sur 2 plus f de x0. On a juste pris cette partie qui nous intéresse parce qu'on va prouver que la borne est dépassée dans le sens positif. Quand je disais au début que l pouvait être négative dans cet exercice, ça ne changera rien à l'exercice. En fait ça rajoute juste le cas où vu que l est négatif, comme ça va tendre vers moins l'infini, on va dépasser la borne dans l'autre sens et on va utiliser ce côté de l'inégalité. Donc c'est un détail. Maintenant on est dans le cas positif donc on utilise ce côté d'inégalité. Ce nl sur 2 va pousser f de x0 plus n moins f de x0 vers plus l'infini. Donc quelque soit n appartenant à n étoiles, f de x0 plus n strictement supérieur ou égal à nl sur 2 plus f de x0. Et maintenant on va prendre un n particulier qui marche bien. Alors pourquoi? Vous voyez que j'ai pris n égale à la partie entière de 2 sur l fois m moins f de x0. Mais en fait, pour ce que ça soit supérieur ou égal à m, on trouve ce nombre ici, si on fait moins f supérieur ou égal à m, moins f de x0, etc. Voilà. Et on trouve ça. Et là j'ai pris la partie entière, donc c'est un nombre inférieur à ce qu'on veut. Du coup j'ai fait plus 1 et voilà, maintenant c'est supérieur. Donc on remarque d'abord que n ici, par construction, est strictement supérieur ou égal à 2 sur l fois m moins f de x0. Or f de x0 plus n est strictement supérieur à nl sur 2 plus f de x0. D'après ça, on applique pour n appartenant à n étoiles, donc petit n reçoit grand n. Donc on a finalement que f de x0 plus n plus grand n est strictement supérieur à m. Donc d'où la contradiction, parce que ça prouve qu'il y a bien un x, donc ici x0 plus n, tel que f de x est strictement supérieur ou égal à m. Donc f a dépassé sa borne. Ainsi, on a contredit le fait que l soit supérieur ou égal à 0, donc l est inférieur ou égal à 0, mais par l'énoncé l est supérieur ou égal à 0, donc l est égal à 0. Voilà, c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Détermination d'une limite à l'aide de la définition formelle

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