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Limites

Dans cette vidéo sur les limites et la prolongation par continuité des fonctions, on aborde le comportement des sinus en limites. On commence par montrer que la fonction x*sin(x) n'a pas de limite en plus infini en utilisant une technique d'absurde. Ensuite, on montre que la fonction x*sin(1/x) n'a pas de limite en 0 en utilisant des suites. Enfin, on démontre que la fonction x*sin(1/x) est prolongeable par continuité en 0 en utilisant le théorème d'existence de la limite par encadrement. La limite est trouvée et vaut 0, ce qui permet de prolonger la fonction. Cette vidéo est un excellent guide pour comprendre les limites et la continuité des fonctions trigonométriques.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une vidéo sur un exercice portant sur les limites et la prolongation par continuité des fonctions. Donc plus précisément ici, là on va parler des sinus et de leur comportement en limites. Donc on va montrer ici que la fonction xsinusx n'a pas de limite en plus infinie. Donc pour ce faire, on va procéder par l'absurde, c'est une technique assez rodée pour les fonctions trigonométriques. On va procéder par l'absurde. Donc on va supposer que xsinusx a une limite en plus infinie et on va obtenir une contradiction. Donc d'abord si elle est infinie, sinus est borné sur R, donc on a une contradiction. Elle ne peut pas être infinie cette limite et en même temps sinus étant borné. Sinon, on peut noter L appartenant à R cette limite, telle que limite de x tend vers plus infini de sinx est égale à L. Et en fait là l'astuce ça va être de dire que si la limite de x tend vers plus infini de sinx égale à L, ça veut dire que tout de suite un qui diverge vers plus infini pour tout de suite, sinus de un va tendre vers L. Donc on va utiliser ça. On a que la limite de quand n tend vers plus infini de 2n plus pi sur 2, ça c'est une limite qui tend vers plus infini quand n tend vers plus infini, est égale à L. Et la limite quand n tend vers plus infini de sin2pi n moins pi sur 2, cette suite tend vers plus infini aussi, donc était aussi égale à L par la définition de la limite par les suites. Or, quel que soit n, on a que, en fait je n'ai pas choisi au hasard ces suites, parce qu'en fait ces suites ça nous donne des sinus constants ici, d'égal à 1 et moins 1. Là on va le voir tout de suite, ça veut dire que L est d'égal à 1 et d'égal à moins 1, d'où une contradiction. Ainsi, sinx n'a pas de limite en plus l'infini. Donc ça va être un peu la même chose, une sorte de variante ici pour montrer que la fonction x qui donne sin1 sur x n'a pas de limite en 0, parce qu'en fait quand x tend vers 0, ici ça tend vers plus l'infini, et donc on aura le même problème ici plus ou moins que pour sinx en plus l'infini. Donc on va supposer que sin1 sur x a une limite en 0, si c'est de limite infini pareil c'est impossible parce que sin1 sur x est borné, sinon on note L cette limite. Ainsi, là on va prendre des suites, et bien là c'est la même chose, c'est juste que la suite ici c'est l'inverse de la suite qu'on avait prise, donc 2pi n plus pi sur 2, ça c'est envers 0, donc ça c'est envers 0, donc c'est égal à L, cette limite est égale à L, parce qu'on a supposé qu'elle avait une limite et que cette limite est égale à L, et que la même suite ici qui tend aussi vers 0 est égale à L, or on remarque que ces deux valeurs, ces suites en fait sont constantes, c'est égal à 1 et moins 1, et pareil, donc ça veut dire que L1 est égal à moins 1, et donc c'est impossible. Ainsi, la seule fonction qui a x associé sin1 sur x n'a pas de limite en 0. Donc, la troisième question, ça consiste à montrer que la fonction x qui associe x à x sin1 sur x est prolongeable par continuité en 0. Ça veut dire quoi? Ça veut dire que cette fonction, en fait c'est une autre façon de la dire, que cette fonction est continue en dehors, c'est le cas, elle est continue en dehors de R étoile, et qu'elle a une limite en 0, une limite finie. Donc, elle est bien continue sur R étoile, et on va montrer que la fonction qui a x associé x sin1 sur x a une limite en 0, et que cette limite est finie. Donc, quel que soit x appartenant à R étoile, sin1 sur x est inférieur ou égal à 1. Et donc, si on multiplie par valeur absolue de x de chaque côté, on a bien que x sin1 sur x inférieur ou égal à 0, inférieur ou égal à x. Ça nous donne que x sin1 sur x est compris entre moins x et x, donc valeur absolue de x et valeur absolue de x. Et là, c'est ce qu'on appelle le théorème des gendarmes, mais moi je n'aime pas l'appeler comme ça, parce que là on a les limites qui sont égales à 0 ici, de chaque côté. Donc là, le théorème des gendarmes, mais je n'aime pas l'appeler comme ça, en fait son vrai nom c'est le théorème d'existence de la limite par encadrement. Et pourquoi j'aime bien l'appeler comme ça, et mon professeur aimait bien l'appeler comme ça aussi en prépa, parce que ça nous donne deux choses. Ça nous donne que x sin1 sur x possède une limite, donc existence de la limite, c'est ça la clé du théorème, ça nous dit que cette limite existe. Et après, une fois qu'elle existe, on peut faire un passage à la limite, c'est comme ça qu'on prouve le théorème, on prouve que la limite existe, et après on fait un passage à la limite ici, et ça nous donne la valeur de la limite. Et donc cette limite est égale à 0, c'est un bonus, c'est surtout l'existence, une fois qu'on a l'existence de la limite, c'est bon, on peut tout faire, c'est très facile à prouver que la limite est égale à 0, de trouver la valeur de la limite. Ce théorème surtout nous donne l'existence de la limite, c'est ce qui est le plus dur à prouver. Et donc, ça, ce que ça veut dire, c'est que cette fonction est prolongeable par quantité en 0 par la fonction g de R dans R, qui a x associé 0 si x est égal à 0, donc c'est bien la limite ici, et x sin 1 sur x si x est différent de 0. Voilà, c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois!

Limites de fonctions sinus

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