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Continuité en un point

La fonction f de r dans R est définie par 1 si x est rationnel et 0 si x n'est pas rationnel. Il est montré que f est discontinue en tout point en utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité. On prend un point a dans R et on montre qu'il existe une suite de réels qui tend vers a et dont la limite de f de ces réels n'est pas égale à f de a. Si a est irrationnel, on utilise le fait que R privé de q est dense dans R pour montrer la discontinuité. Cette fonction, l'indicatrice des irrationnels, est simple et sert souvent de contre-exemple sur la continuité.

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour un nouvel exercice sur la continuité et ici on va parler de la fonction f de r dans R qui est définie par 1 si x, enfin f de x est égal à 1 si x est rationnel et 0 si x n'est pas rationnel. Donc en fait c'est une fonction qui est la fonction indicatrice des rationnels et faut montrer que f est discontinue en tout point. Donc déjà pour s'en convaincre on va un peu voir comment on pourrait tracer f en fait. En fait vu qu'il y a les rationnels partout, c'est la densité de q dans R, il y en a partout, du coup enfin comme ça, à la main, comme ça, on pourrait dessiner deux droites comme ça et en fait en fait en chaque point ici là il y a des points ici ici ici mais tellement rapprochés qu'en fait nous ça nous apparaît de droite. Donc en fait on voit bien que cette fonction elle est quand même très bizarre et elle n'est pas continue. Parce qu'elle est constamment en train de d'alterner entre 0 et 1 à chaque fois que cela change de rationnel à irrationnel. Donc q est dense dans R, donc comment on va montrer ça? En fait q est dense dans R et là en fait l'astuce c'est de penser à la caractérisation séquentielle de densité. On pense à la caractérisation séquentielle de densité parce que la densité c'est pas souvent, c'est pas très sympa à manipuler comme propriété. Et donc en règle générale quand on a des choses qui sont denses on utilise la densité et ce sera vrai pour le reste de l'année. Pour d'autres choses, on verrait la densité d'une autre manière, d'un autre point de vue. Et donc pour passer facilement à la continuité ou à la discontinuité, on va utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité et notamment la négation de la caractérisation séquentielle de la continuité. Et donc après on va essayer de prouver que la fonction est discontinue comme ça. Donc un peu les étapes comme ça qu'on va prendre. Donc c'est parti. On prend un a dans R, on va montrer qu'elle est en tout point, donc on prend un point quelconque et on va montrer que la fonction est discontinue. Parce qu'en tout point ça veut dire que la continuité c'est une propriété, ou la discontinuité c'est une propriété locale qui se fait point par point. Donc on prend un point particulier. Donc f est discontinue en a, donc là on marque au brouillon ce qu'on veut prouver. F est discontinue en a, ça veut dire qu'il existe une suite, avec la caractérisation séquentielle, il existe une suite de réels telle que un tend vers a, converge vers a, et f de un ne converge pas vers f de a. Donc soit elle ne converge pas du tout, n'a pas de limite ou va plus à l'infini, ou elle ne converge pas vers f de a. Voilà la limite et la limite n'est pas f de a. Donc on va prouver ça. Comment? En fait l'existence d'une suite c'est exactement la définition de la densité dans R. Donc si a appartient à R privé de q, si a n'est pas été irrationnel, on a que q est dans R et a appartient à R. Donc il existe une suite un ici uniquement dans q, telle que la limite de un c'est a. Donc une suite de réels qui tend vers qn. Or, quel que soit n appartenant à n, f de un est égal à 1, car un appartient à q par définition. Donc limite de un, f de un, est égal à 1. Et cette limite est différente de 0, et 0 c'est égal à f de a, parce que a est irrationnel par définition de f. Donc f est discontinuant a, parce que la suite un tend vers a, et la limite de la suite f de un ne tend pas vers f de a. Donc on a la discontinuité de f en a. Maintenant on traite le cas a appartient à q, donc a est irrationnel. Et là on va utiliser le fait que R privé de q, donc les irrationnels, sont aussi denses dans R. Donc on prouve de la même manière en intervertissant q et R privé de q, on prouve que f est discontinu en a. Ainsi, f est discontinu en tout point de R. Cette fonction est pratique, car il n'y a pas beaucoup de fonctions qui sont discontinues. Il y a une infinité, mais des fonctions simples, faciles à sortir, il n'y en a pas beaucoup. C'est une fonction simple qui est discontinue en tout point de R, et elle sert pour des contre-exemples. C'est l'indicatrice des irrationnels, et elle sert souvent de contre-exemple. Souvent on ne la note pas f, on la note qui-q, la lettre grecque qui, ou un-q, l'indicatrice des irrationnels. Si vous la notez comme ça, c'est normal. Elle sert souvent dans les contre-exemples sur la continuité. C'est la fin de cet exercice, et on se dit à une prochaine fois!

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