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Continuité en un point

Nous apprenons dans cette vidéo que les fonctions minimum et maximum de deux fonctions continues f et g en x0 sont elles-mêmes continues en x0. Pour prouver cela, il est plus efficace de se rappeler que les expressions du minimum et du maximum peuvent être écrites visuellement en fonction de f et g, plutôt que d'utiliser la définition de la continuité ou des suites. En utilisant des formules classiques, le maximum de a et b est donné par a + b + |a - b|/2 et le minimum de a et b par a + b - |a - b|/2. Les formules correspondantes pour les fonctions minimum et maximum de f et g en x0 sont alors 1/2(f+g+|f-g|) et 1/2(f+g-|f-g|). Étant donné que f et g sont continues en x0, la différence de f et g est continue en x0 et la valeur absolue de cette différence est également continue. Ainsi, par les théorèmes généraux, les fonctions minimum et maximum de f et g en x0 sont bien continues en x0.

Salut c'est Paul! On se retrouve pour ce nouvel exercice sur deux fonctions f et g qui sont continues en x0 et on va montrer que les fonctions minimum de f et g et maximum de f et g sont elles-mêmes continues en x0. Donc en fait on aura prouvé que si f et g sont continues sur un même ensemble, on va avoir que les fonctions minimum de f et g et maximum de f et g sont continues sur cet ensemble. Ça paraît assez logique et on va voir comment le prouver comme ça. Donc de prime abord on pourrait se dire on va utiliser la définition de la continuité ou la définition avec des suites, ce genre de choses comme ça. Ok, mais ça marche toujours mais c'est pas forcément la façon la plus rapide. Voilà parce que en fait là une chose est sûre quand vous voulez prouver qu'une fonction que vous pouvez écrire avec des valeurs absolues, des logarithmes, des exponentiels, des x² et tout ça, ça vous allez utiliser des théorèmes généraux. Vous allez dire c'est une somme de fonctions continues, c'est un produit de fonctions continues, c'est une composition de fonctions continues, et vous allez dire elle est continue. En fait là la bonne façon c'est de se rappeler que min et max on peut les écrire en fonction de f et g avec des fonctions visuelles dont on va savoir qu'elles sont continues par le cours. On n'a pas besoin de reprouver et avec des théorèmes généraux on va enfin prouver. Donc là la difficulté c'est de trouver ou de se rappeler quelles sont les expressions de minimum et de maximum en fonction de f et g. Donc c'est parti. Donc si on prend f et g de fonction et le but ça va être d'écrire le minimum de f et g et le maximum de f et g en fonction de fonctions visuelles et de f et de g bien sûr. Donc on va d'abord l'écrire le minimum et le maximum en fonction de a et b dans R². En fait on remarque que si on fait la somme du maximum et du minimum de a et b, le maximum de a et b et le minimum de a et b, il y en a un qui va être a, l'autre qui va être b. On ne sait pas lequel est lequel mais on sait que c'est égal à a plus b. Après si on avait la différence, là on a la somme, mais si on avait la différence, là ce serait bien, ça serait parfait même, parce qu'on obtiendrait l'expression du minimum. Donc là c'est un système classique, la somme et la différence et on obtient demi-somme, demi-différence et on obtient bien les termes. Là on remarque que le maximum de a et b et le minimum de a et b, c'est égal à la distance entre a et b. Ça c'est toujours positif et c'est égal à la distance entre a et b, donc la valeur absolue de a moins b. Ainsi on a que, quels que soient a et b dans R², le maximum de a et b c'est a plus b plus la valeur absolue de a moins b sur 2 et le minimum de a et b c'est a plus b moins la valeur absolue de a moins b sur 2. Donc comment je me rappelle, le maximum là on a un plus et le minimum là il y a un moins, et après je me rappelle qu'il y a a plus b et la valeur absolue de a moins b, donc la somme de a et b et la distance entre a et b et il faut diviser par 2. Sinon je pourrais me rappeler de faire ça, somme et différence, il faut un peu réfléchir, peut-être faire un dessin et ça revient tout seul. Mais il faut bien s'en rappeler que ça existe, pour la continuité c'est très pratique. Donc on a que le max de f et g, si on transmet ça ici pour quelque soit x, quelque soit y, si on prend f de x et g de x, on a que la fonction max de f et g est égale à 1 demi de la fonction g, f plus la fonction g plus la valeur absolue de f moins g. Et la fonction minimum de f et g est égale à 1 demi de la fonction f plus la fonction g, f moins g composée avec la fonction valeur absolue. Ainsi par les théorèmes généraux, vu que f et g sont continués en x et zéro, la différence de f et g est continue en x et zéro. Si on prend la valeur absolue, c'est toujours continue parce que la valeur absolue est continue, f plus g aussi est continue, et donc tout ça c'est continue, pareil pour la fonction maximum. Et donc les deux fonctions qu'on recherche sont bien continues en x et zéro. C'est très simple, il fallait juste partir de l'astuce et pas partir bout en train, défaissons la limite, soit epsilon, tout ça. Il faut réfléchir un peu avant ce qu'on sait sur la fonction maximum et minimum. Je ne sais pas si l'exercice vous teste, si vous savez prendre du recul sur l'exercice. Des fois, on part direct en epsilon, tout ça, non non, là il faut réfléchir. C'est la fin de cette vidéo et on se dit à une prochaine fois.

Fonctions min et max

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