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Continuité en un point

Dans cette vidéo, Paul résout une équation fonctionnelle pour trouver les fonctions continues vérifiant que f(x+y) = f(x) + f(y). Il note que les fonctions linéaires (f(x) = ax) vérifient cette équation, et utilise la densité des rationnels pour prouver que toute fonction vérifiant cette équation est linéaire. Il prouve également que f(0) = 0 et que f(nx) = nf(x) pour tous les entiers n et x. Enfin, il montre que toute fonction vérifiant cette équation est bien une fonction linéaire.

Salut c'est Paul, on se retrouve pour un nouvel exercice sur les fonctions continues où on va ici résoudre une équation fonctionnelle. Donc ça va consister à trouver les fonctions f de R dans R continues vérifiant que f de x plus y est égal à f de x plus f de y. Donc là déjà vous avez ce genre de fonctions là mais en fait là déjà vous pensez directement intuition ce sont les fonctions f de x égale a x donc les fonctions linéaires. Et une autre façon de les écrire c'est f de x égale f de 1 de x. Voilà, bon, ça à une pensée, ça peut servir surtout que là on a f des deux côtés de l'équation donc ça va être peut-être plus facile pour faire apparaître un f de 1. Donc c'est les fonctions linéaires. On a f de 0 égale f de 0, si on a une fonction comme ça ça va être assez facile à prouver, ça peut être utile. Et bon là on a le cas pour x et y mais on pourrait avec nx égale à n f de x. Ça par récurrence ça doit bien se prouver. Et on peut devoir prouver sûrement pour n appartient à z. Mais le but du coup pour avoir ça, ce serait de prouver que f de xy égale à y f de x avec y en réel. Mais comment on passe de là à là? Déjà on voit qu'on n'a pas utilisé la continuité. Donc l'astuce ici, il faut penser à ce que à partir de n ici, on va pouvoir faire apparaître on va pouvoir transitionner de nx ici à rx avec r, un rationnel. Parce qu'un rationnel c'est composé de deux entiers. Donc avec des petites manipulations on se dit qu'on pourra y arriver. A partir de ça, prouver ça ici. Et après c'est là qu'on va sûrement utiliser la continuité et la densité de q dans r avec des histoires de limites, de suites, tout ça. Avec la définition séquentielle de la densité qui est toujours la plus pratique. C'est parti, on attaque. On prend une fonction f telle que recherchée qui est dans l'ensemble qu'on recherche. Et on va essayer de montrer que c'est une fonction linéaire. Donc les bases, les choses basiques qui vont nous servir dans la démonstration. On dit f de 0 plus 0 c'est f de 0 et c'est aussi égal à f de 0 plus f de 0 donc 2f de 0 donc f de 0 c'est égal à 0. Déjà c'est une première base. Et là, ça va être utile pour passer de f de... Pour passer de prouver ça pour les entiers naturels mais ça va permettre d'étendre ce qu'on va prouver. Là ça va permettre d'étendre ce qu'on va voir aux entiers relatifs parce qu'on a besoin des entiers relatifs pour créer un rationnel. On prouve que f de x moins x c'est f de 0 c'est égal à f de x plus f de moins x f de 0 c'est égal à 0 comme on l'a prouvé ici. Donc moins f de x est égal à f de moins x. Cette relation on va l'appeler étoile, ça va servir plus tard. Ça c'est des choses importantes à retenir. Et maintenant on va prouver que f de nx est égal à nf de x par récurrence. C'est une récurrence très rapide, je l'ai fait. On prend n égal à 0, l'initialisation, c'est immédiat. On a prouvé que f de 0 est égal à 0 donc c'est bon ça marche. Et c'est bien égal à 0 fois f de x donc p de 0 est vrai. Maintenant on prend n tel que p de n donc l'hérédité et on calcule f de n plus 1 de x donc c'est f de nx plus f de x et d'après p de n, f de nx c'est nf de x et ainsi on a p de n plus 1. Donc on a bien ce qu'on cherchait. Maintenant on veut étendre ça au rationnel mais pour ça il faut étendre notre relation ici aux entiers relatifs. Vu que f de moins x est égal à moins f de x si on met un moins sur le n ici, cette relation est encore vraie maintenant et ça étend aux entiers négatifs. Donc à tous les entiers relatifs. Donc c'est ça qui est important pour la suite. Maintenant on va généraliser au rationnel pour petit à petit arriver au réel. On prend un x et on va prendre p et q toujours un x parce qu'on veut prouver ça pour toutes x. On prend p et q dans Z croix n étoiles donc on va créer un rationnel comme ça. Ça va être p sur q et on va vouloir prouver que f de p sur q de x est égal à p sur q f de x et pour ça on va calculer q fois p sur q de x de deux manières différentes. C'est égal, si on simplifie les q à p, à f de p de x mais si ici on sort le q d'après ce qu'on a prouvé puisque q est un entier relatif, grâce à ça on peut sortir le q ici donc q f de p sur q de x et puis vu que q est un entier naturel non nul on peut diviser par q ici et on obtient f de p sur q de x est égal à p sur q de f de x donc on a prouvé que quel que soit x tend R et quel que soit R un rationnel f de Rx est égal à R f de x. Maintenant on va étendre cette propriété au réel et pour prouver que f est bien une fonction linéaire. On va utiliser la densité. Une fois en règle générale, en analyse, quand une chose est vraie pour un rationnel il y a une sorte de continuité et ça va permettre de l'étendre. C'est plus simple de le prouver par les rationnels et c'est assez généralisable, pas qu'à cet exercice, de prendre un entier, de passer par les rationnels et finalement par densité de passer au réel. Donc si on prend x dans R toujours vu que q est dans ce dans R il existe une suite un de rationnel qui tend vers x et si on prend... on a que quel que soit n appartenant à n f de un fois un est égal à un f de un parce que un est un rationnel et d'après la relation que vous venez de prouver, ça c'est bon. Par continuité de f, on a que la limite de quand n est par rapport à un plus infini de un fois un et par continuité de f, la limite quand n est par rapport à un plus infini de un c'est x, donc la limite c'est f de x. Enfin f de x fois un toujours. Or on a aussi que la limite de un f de un c'est f de un de x. Simplement, on n'a pas besoin de la continuité pour ça. Sauf que ces deux suites sont égales. Ainsi, par l'unité de la limite, les deux limites sont égales et donc quel que soit x appartenant à R vu qu'on a pris un x quelconque, f de x est égal à f1 de x. Et qu'est-ce que ça veut dire ça? Ça veut dire qu'en fait, vu que f de x est égal à f1 de x, ça veut dire que f appartient à l'ensemble alpha fois l'identité qui est l'ensemble des fonctions linéaires dont on voulait prouver l'appartenance. Réciproquement, on a prouvé que si la fonction ici est telle que recherchée dans l'exercice, la fonction était une fonction linéaire. Mais il faut juste l'écrire. Si on a une fonction linéaire, elle verifie bien l'énoncé, c'est immédiat. Il faut juste le dire pour voir que on a compris la logique du raisonnement et qu'on n'oublie pas. Ainsi, l'ensemble recherchait les fonctions linéaires. C'est la fin de cet exercice. A une prochaine fois!

Équation fonctionnelle

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