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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 2nd ordre

Dans cette vidéo, on résout l'équation différentielle associée au RLC série. On étudie la tension UC au banc du condensateur dans un circuit RLC série. On détermine les conditions initiales vérifiées par UC et sa dérivée temporelle. Ensuite, on résout l'équation d'oscillateur amorti vérifiée par UC. On distingue les trois types de régime : apériodique, critique et pseudo-périodique. On détermine les racines de l'équation caractéristique et on trouve la solution homogène pour chaque régime. Ensuite, on cherche une solution particulière et on somme les deux solutions pour résoudre les constantes. On obtient finalement la solution de l'équation globale. La résolution de cette équation différentielle linéaire d'ordre 2 est importante pour comprendre les caractéristiques d'un circuit RLC série.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va résoudre l'équation différentielle associée au RLC série. C'est une vidéo totalement de la continuité de la vidéo où on a posé cette équation différentielle, donc il faut savoir la faire, n'hésitez pas à aller la voir si vous avez des doutes. On étudie encore la tension UC au banc du condensateur dans un circuit RLC série, à T égale 0, le condensateur est déchargé, et on ferme l'interrupteur. Quelles sont les conditions initiales vérifiées par UC et sa dérivée temporelle ? On sait qu'on va résoudre une équation différentielle, donc ça ne nous surprend pas. Et puis après, on résout l'équation d'oscillator amorti, vérifiée par UC, dans un RLC série. Distinguer les trois types de régime, c'est quoi cette notion de régime ? C'est tout l'objet de cette vidéo qui détaille en précision la méthode pour résoudre une équation différentielle d'ordre 2. C'est une vidéo très importante de méthode, il faut passer du temps au début pour la retenir. J'ai plein d'élèves qui se disent, au fil de l'eau je vais commencer à retenir comment est-ce qu'on fait. C'est vraiment pas efficace, il faut se poser. On prend 10 minutes et on apprend concrètement comment on résout une équation différentielle d'ordre 2, ici dans le cas du RLC série. C'est vraiment crucial et ça aide pour la suite. Pour rappel, qu'est-ce qu'on avait obtenu ? Ici dans un circuit où on a un générateur de tension et puis un RLC série, on avait posé cette équation-là, là il y a le terme de générateur qui apparaît, et puis on avait introduit des paramètres. La pulsation propre et du facteur de qualité. Ce sont des paramètres qui sont intéressants, notamment parce que c'est des grandeurs qui nous intéressent et qui indiquent les caractéristiques du circuit, mais aussi parce que ça permet de standardiser la résolution de l'équation différentielle, ça permet de travailler avec des grandeurs usuelles. C'est parti pour les conditions initiales. Vous vous rappelez, lors de l'étude des circuits d'ordre 1, on n'a besoin que d'une seule condition initiale. Là c'est bon, on est dans la cour des grands, on est à l'ordre 2, donc on a besoin de deux conditions initiales. La première, ça va être tout simplement, par continuité de la tension au bord du condensateur, la tension en 0+, c'est la même qu'en 0-, et il était initialement déchargé, donc c'est 0. Ensuite il nous faut une deuxième, donc il faut aller chercher la condition initiale de la première dérivée de U. D'après la relation courant-tension pour un condensateur, on n'a tout simplement que dUc sur dt, c'est I2t sur c. Sauf que I2t, c'est aussi le courant qui traverse la bobine L. Là ça nous fait plaisir vu qu'on peut dire nos deux faces préférées dans le même exercice, par continuité du courant traversant une bobine, I en 0+, c'est I en 0-, et vu qu'on est en régime permanent, il n'y a plus de variation, et bien c'était 0. Donc dUc sur dt en 0+, est égal à 0. Ça y est, on a nos deux conditions initiales, on peut passer à la résolution type d'une équation différentielle d'ordre 2. À partir de là, on ouvre grand ses oreilles. Par quoi ça commence ? Comme toute équation différentielle, on résout tout d'abord l'équation homogène qui est associée, donc la voici. Et comment est-ce qu'on résout une équation différentielle homogène ? À l'ordre 1, c'était avec A, un facteur préexponentiel, et puis exponentiel de moins t sur taux. Ce n'est pas le cas pour l'ordre 2. L'ordre 2, c'est une toute autre méthode, il faut poser l'équation caractéristique associée. Donc, voici comment elle s'intitule. R² plus ω sur Q, R plus ω, 0², est égal à 0. Alors, je me souviens, je ne comprenais pas trop d'où ça sortait. On nous disait de poser cette équation caractéristique. En fait, il n'y a pas... Un conseil, c'est de ne pas trop réfléchir sur cette question. En fait, la raison pour laquelle on pose cette équation, ça demande d'avoir un bagage théorique qu'on n'a qu'en spé, et encore, des fois, ce n'est même pas abordé. Donc, qu'est-ce qu'il faut retenir ? C'est plutôt, c'est de l'ordre 2 ici, donc ça se transforme en R², c'est de l'ordre 1 en dérivation ici, donc ça se transforme en R, et puis, c'est de l'ordre 0 en dérivation, donc c'est juste la puissance 0, 1. Donc, on pose cette équation caractéristique, et ensuite, on cherche à trouver ses racines. En fait, il faut regarder ça comme un polynôme du second degré, dont on cherche les racines. Alors, pour chercher les racines d'un polynôme du second degré, on a besoin de poser un discriminant. Le discriminant, c'est ω0² sur Q², moins 4 ω0². Et donc là, les racines dépendent totalement du signe du discriminant, et c'est l'objet, justement, des trois types de régimes auxquels va être soumis le système linéaire. Donc, on va faire la distinction de cas, et ça va donner des solutions différentes pour chacune. Donc, il faut bien retenir les trois cas types, parce qu'ils sont vraiment différents. Alors, le premier, qu'on peut examiner, c'est le cas où le discriminant est positif, strictement positif. Donc, si on fait la petite équation, le discriminant est positif, si et seulement si, le facteur de qualité est inférieur strictement à 1,5. Alors là, ça correspond, c'est important le terme de vocabulaire, ça correspond au régime apériodique. Donc, comment ça va se passer pour la résolution ? Maintenant c'est bon, on peut déterminer les deux racines qui sont réelles. Donc, moins ω0 sur 2Q plus ω0 racine de 1 sur 4Q² moins 1, et puis l'autre version avec un moins juste ici. Très bien. Qu'est-ce qu'on en fait de ces racines ? En fait, ça va être sous forme exponentielle aussi. Là, c'est bon, on sort de l'équation caractéristique, et puis on revient à l'équation homogène, c'était UC de T. Donc, la solution homogène pour un régime apériodique, c'est A exponentielle de R1 de T plus B exponentielle de R2 de T avec A et B constantes, et puis R1 et R2, c'est les solutions de l'équation caractéristique. Donc voilà, ça c'est la solution pour le régime apériodique lorsque le facteur de qualité est strictement inférieur à 1,5. Ensuite, on peut examiner le cas où le discriminant est égal à 0, c'est le cas où Q est égal à 1,5, et ça correspond au régime critique. À ce moment-là, on sait que dans la résolution du polynôme, on a une seule racine double, qui est –ω0 sur 2Q. Très bien, comment est la solution pour la tension aux bandes du condensateur ? À ce moment-là, c'est A plus BT, facteur de exponentielle de R0 de T avec A et B des constantes. Voilà, c'est des formules comme ça qu'il faut retenir. Donc, ça c'est pour le régime critique. Ensuite, le troisième cas, c'est le plus compliqué, c'est le cas du régime pseudo-périodique, dans le cas où Q est strictement supérieur à 1,5. À ce moment-là, on a deux racines qui sont complexes et conjuguées. À ce moment-là, on va poser une écriture bien particulière. Les deux racines, c'est –ω0 sur 2Q, plus ou moins Iω0 racine de 1-1 sur 4Q². Et donc, on va poser comme étant les racines complexes, donc –α, plus ou moins, ça aurait été Iβ si on était en maths, mais ici, on va poser une grandeur bien plus parlante, c'est Iω. Alors, Iω, ça va être la pseudo-période du régime pseudo-périodique. Donc, on va voir son utilité dans les différents exercices. Et à ce moment-là, quelle est la forme de la solution homogène ? Eh bien, c'est A cosinus de Iωt, plus B sinus de Iωt, exponentielle de –αt, avec A et B toujours des constantes. Donc voilà, il faut retenir absolument ces trois cas différents qui, vous le voyez, mènent à des solutions totalement différentes. C'est la fin de la résolution de l'équation homogène associée. Donc, on reprend le cursus global de la résolution d'équation différentielle. Il faut maintenant déterminer une solution particulière. Donc, T associe E est solution particulière, on peut le trouver. Et donc, troisième étape, on somme les deux solutions, et puis on cherche à résoudre les constantes. Alors, j'ai fait un exemple pour le régime pseudo-périodique. On peut faire l'exercice pour la périodique ou pour le critique. Je l'ai fait pour le pseudo-périodique vu que c'est le plus compliqué. Alors, c'est quoi la méthode à partir de ça ? On pose l'équation qu'on a obtenue. Ic de T, c'est la somme des deux, de l'équation homogène plus la solution particulière. Et directement, ça c'est le conseil que je donne, ça m'a vraiment sauvé beaucoup de temps en prépa, directement on dérive. Donc, dhc sur dt, ça nous donne une grosse expression. C'est un produit de dérivation. Et donc, on obtient ça. Et à partir de là, maintenant seulement, on évalue en 0+. Donc, uc en 0+, d'après l'expression ici, ça nous donne a plus e, et c'est égal à 0 d'après notre étude antérieure. Donc, a est égal à moins e. Et puis, dhc sur dt en 0+, ça vaut bω moins αa, et c'est aussi égal à 0 d'après l'étude précédente. Donc, b, c'est égal à moins αe sur ω. Et donc, c'est bon, on a déterminé les constantes, on a la solution de l'équation globale. uc de t est égal à moins e cosinus grand-oméga t, moins αe grand-oméga sinus de grand-oméga t. Le tout produit un facteur de exponentiel moins αt plus e. Donc voilà, on sent qu'on a passé un cap en termes de résolution d'équations différentielles, en termes de calcul, mais vraiment, il y a de la très belle physique derrière ça. Donc, ça vaut le coup. Apprenez vraiment clairement la résolution de cette équation différentielle linéaire d'entre deux. Ça vous sauvera énormément de temps dans la suite. Et puis, moi, je vous dis à bientôt.

Résolution de l'équation différentielle du RLC série

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