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Physique

Electrocinétique dans l'ARQS

Dans cette vidéo, nous cherchons à établir une équivalence de circuit entre un montage étoile et un montage en triangle en cherchant les résistances correspondantes. Nous exprimons la tension UAB en fonction des résistances et courants pour les deux montages en utilisant les lois d'Ohm et des mailles. Nous isolons finalement J3 en fonction de I2 et I1 pour trouver les expressions des résistances nécessaires pour que les circuits soient équivalents. Pour trouver l'expression de R3, nous échangeons les rôles des résistances en utilisant le point de symétrie du circuit. Au final, nous avons obtenu une équivalence de circuit utile en physique.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo, on va établir des équivalences de circuits à plus grande échelle. Alors on considère les deux circuits si-contre, appelés montage étoile ici, et montage en triangle. Pour des valeurs bien choisies de résistance, ces deux circuits peuvent être équivalents. On suppose connue les résistances Ri de la configuration triangle, et on cherche les résistances Rj pour que ce soit équivalent. Première question, exprimer le plus simplement possible la tension UAB en fonction de certaines résistances et courants pour les deux montages. Premièrement, l'attention UAB, c'est la tension qui va de B vers A. Il ne faut pas se tromper dans le sens. J'ai mis des petits points pour les futures lois de Néneu. Comment est-ce qu'on l'exprime dans les deux schémas? Pour commencer, pour le schéma en étoile, on retrouve avec les lois d'Ohm, deux tensions en série. Ce sont des résistances, ainsi on pourra les exprimer. Par contre, attention à la convention générateur ou non, car les courants ne sont pas dans le même sens. On a ainsi dans le premier circuit, UAB qui vaut R1I1, c'est bien dans le bon sens, moins R2I2, puisque la tension au bord de la résistance s'oppose au courant. Dans le deuxième circuit, attention au bord de la résistance R3, c'est R3 fois le courant qui y traverse J3. Exprimer J3 en fonction de I1 et I2. On va se pencher sur le circuit en triangle. On peut faire une première loi des nœuds en M, pour s'indiquer que I1 va plus J2, qui est dans le bon sens, donc J3. On a commencé à relier les deux grandeurs, sauf qu'on a J2 qu'on ne connaît pas. Mais si on continue les lois des nœuds, on va introduire à chaque fois des grandeurs qu'on ne connaît pas, ou alors on va boucler dans le circuit, ce qui fait qu'on ne va pas pouvoir s'exprimer. Stop avec les lois des nœuds, on va plutôt partir sur les lois des mailles, puisque vu que c'est des résistances, les lois des mailles permettent aussi de relier au courant. La loi des mailles nous dit que si on fait le circuit dans ce sens-là, ils sont tous orientés dans le même sens. J3R3 plus J2R2 plus J1R1 vaut 0. On pourra isoler les différentes grandeurs que l'on veut. Ici on a introduit J1, J1 c'est pas grave, on peut le relier à la fois à I2 et à J3. On sent qu'on a à peu près fini de travailler, on n'a plus besoin de lois, il faut juste extraire les grandeurs que l'on souhaite. J2 à partir de la loi des mailles c'est moins J3R3 sur R2 moins J1R1 sur R2, et puis on remplace J1 par son expression, c'est bien moins J3R3 sur R2 moins J3 plus I2 fois R1 sur R2. Ici on peut isoler et remplacer dans l'expression qu'on avait de départ de la première loi des nœuds. Et on se retrouve effectivement avec une expression où on a J3 exprimé en fonction de I2 et I1. On a juste à l'isoler, je vous passe les calculs, on obtient finalement J3 qui vaut R2I1 moins R1I2 sur R1 plus R2 plus R3. On a répondu à la question. On déduit à l'expression de R1 et R2 pour que les circuits soient équivalents. Comment est-ce qu'on se ramène aux résistances 1 et aux résistances 2? Les deux tensions UAB, à la fois en étoile et à la fois en triangle, sont égales si et seulement si. C'est l'expression qu'on a déterminée au début. C'est bien de connecter avec les... Il ne faut pas oublier ce qu'on a fait avant, parce que très souvent ça sert dans les questions d'après, surtout en physique. Donc à retenir. Ici, R1I1 moins R2I2 vaudrait à ce moment-là R3 fois J3. Donc R3 avec l'expression qu'on a déterminée. Là c'est bon. On a juste à identifier ce qu'il y a à la fois devant I1, ça va faire office de R1, et puis ce qu'il y a devant I2, ça va faire office de R2. Au final, on établit les résistances. Pour que les circuits soient équivalents, il faut que R1 vaille R3 R2 sur R1 plus R2 plus R3. Et R2, il faut que ça vaille R3 R1 sur R1 plus R2 plus R3. Et puis la dernière question nous demande d'en déduire l'expression de R3 par analogie. Ici en fait, le circuit a un point de symétrie, donc si on tourne deux pieds sur trois, c'est exactement la même chose. Et puis les résistances jouent des rôles équivalents, donc on a juste à repérer. Ici on échange les rôles, R3 va donc valoir R1 R2 sur R1 plus R2 plus R3. Voilà, on a établi finalement une équivalence de circuit, qui n'est pas du tout intuitive, mais qui est plutôt jolie. Merci beaucoup et à très bientôt!

Equivalence de circuits

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