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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 2nd ordre

Dans cette vidéo, nous étudions un circuit RLC avec un condensateur en dérivation. Nous établissons l'équation différentielle vérifiée par le courant I en utilisant la loi des mailles. Ensuite, nous identifions la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q, qui décrit la qualité de l'oscillateur considéré. Nous expliquons également qualitativement l'expression du facteur de qualité. Nous résolvons finalement l'équation différentielle et donnons l'expression de I de T ainsi que son allure. Nous soulignons l'importance de savoir adapter notre raisonnement face à des situations inhabituelles.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier un circuit RLC un peu particulier. Encore un RLC? Ouais, en fait il est un peu spécial puisqu'il a en fait un condensateur, non pas en série, mais en dérivation. Juste ici. Donc, le condensateur est initialement déchargé, on nous l'indique, et puis le générateur fournit un échelon de tension passant de 0 à E, à T égale 0. Donc, l'exercice reste quand même assez classique, il faut établir l'équation différentielle vérifiée par le courant I. Qui dit équation différentielle, on se précipite sur la loi des mailles. Ici il y a deux mailles, deux lois des mailles, c'est pas compliqué. Donc, pour le schéma juste ici, on fait tout d'abord la loi des mailles à gauche, donc ça nous donne, sachant que la UC qui est ici, mais qui se retrouve aussi ici, donc UC de T plus L DI de T sur DT est égal à E. Très bien. Ensuite, la loi des mailles à droite, elle nous donne quoi? Elle nous donne que R IR de T est égal à UC de T, on a introduit des courants particuliers ici. Alors, qu'est-ce qu'elle nous donne la loi des nœuds en M? Elle nous dit que IR plus IC est égal à I, puisqu'on veut se ramener à I, donc I de T, finalement, avec les différentes expressions pour les relier à UR, c'est UC divisé par R plus C DU sur DT. Très bien. Or 1, du coup, elle nous donne, à partir de là, UC de T est égal à E moins L DI sur DT, bon, j'ai pas fait grand-chose, mais du coup c'est bon, on a juste à remplacer dans l'expression ici, l'expression de U, de UC, donc finalement on a I de T, c'est E sur R moins L sur R DI sur DT, moins LC D2I sur DT. Très bien. Qu'est-ce que ça nous fait comme équation différentielle lorsqu'on a tout mis du même côté, ce qui dépend de I et ce qui est constant, et qu'on a normalisé? Et bien finalement, on a D2I sur DT2 plus 1 sur RC DI sur DT plus 1 sur LC, I de T est égal à E divisé par RLC. OK. Alors maintenant, on va partir pour la deuxième question, l'écrire sous forme karmique en introduisant deux grandeurs, ω0 et Q, que l'on interprétera. Bon, c'est l'identification classique de la pulsation propre et du facteur de qualité. Très bien, donc si on se ramène ici, par identification, on se précipite d'abord sur l'identification de la pulsation propre, donc par identification, ω0 c'est le classique, 1 sur racine de LC, mais encore une fois ça aurait pu être différent, tandis que de même, Q c'est égal à RC ω0. OK. Alors, la troisième question, expliquer qualitativement l'expression du facteur de qualité. Bon, c'est un peu particulier comme question, on ne comprend pas trop ce qu'on attend de nous. Alors, qu'est-ce qu'on peut dire? Le facteur de qualité, si vous ne l'avez pas encore vu, ça va décrire la qualité de l'oscillateur qu'on est en train de regarder. C'est-à-dire qu'un facteur de qualité grand caractérise un oscillateur qui ne va pas avoir trop de dissipation, donc il va y avoir de belles oscillations. OK. Donc en fait, Q décrit l'écart entre l'oscillateur considéré et l'oscillateur harmonique. C'est une grandeur à dimensionner, donc plus Q est grand, plus on considère que c'est un bon oscillateur. Donc à partir de là, pour expliquer la question, c'était de savoir si Q, sachant que c'est à dimensionner, on peut l'écrire comme étant RC ω0 ou 1 sur RC ω0. Bon, ça aurait donné les deux expressions juste ici. Alors, on sait qu'un oscillateur harmonique électrique, c'est décrit par un circuit LC en série. Or, ici dans la configuration qu'on avait, on obtient un LC série dans la limite où R tend vers plus l'infini. Puisque à ce moment-là, la branche qui est suivant R n'est plus empruntée, on passe directement par le condensateur et la bobine, et c'est bien un LC série. Donc, LC série oscillateur harmonique, c'est quand R tend vers plus l'infini, et Q tend vers plus l'infini lorsque R tend vers plus l'infini. Voilà, donc on a bien la bonne expression, c'est RC ω0, et donc c'est R racine de CL. Alors, donner la valeur du courant I et de sa dérivée à l'instant initial. On le voit, on veut en tenir, c'est pour résoudre l'équation. Alors là, il faut se pencher sur les conditions initiales. Alors, tout d'abord, I en 0+, d'après les conditions de continuité via une bobine, donc là, on cite la formule magique, par continuité du courant travers une bobine, c'est I en 0-, et vu que l'interrupteur était ouvert en 0-, eh bien c'était 0. Pour sa dérivée, on peut faire une petite loi d'émail. La tension aux bandes de la bobine, c'était E-UC, et donc DI sur DT en 0+, c'est E-UC en 0+, le tout divisé par L. Et là, on utilise la deuxième formule magique, on a de la chance, c'est les deux en même temps. Par continuité de la tension aux bandes d'un condensateur, UC en 0+, égal UC en 0-, égal 0, il était déchargé à la base. Donc finalement, la dérivée temporelle de T en 0+, c'était E sur L. Et ensuite, dernière question, je vais spoiler un peu, en supposant q égale à 2, de donner l'expression de I de T et tracer son allure. Bon, c'est parti pour la résolution classique de l'équation différentielle. Première étape, résolution de l'équation homogène. Donc, D2I sur DT2 plus ω0 sur Q DI sur DT plus ω0²I est égal à 0. On se rappelle, là il faut poser ce qu'on appelle l'équation caractéristique associée, qui est R² plus ω0 sur Q R plus ω0² est égal à 0. Et à partir de là, il faut déterminer ses racines en fonction du type de régime que l'on regarde. Donc, ici le discriminant, c'est égal à ω0² sur Q², moins 4ω0². Et on nous donne l'expression pour Q est égal à 2. Donc si on se souvient très bien de la méthode à apprendre par cœur de résolution d'équation différentielle d'ordre 2, Q ici est strictement supérieur à 1,5. Donc on sait déjà, si on a bien retenu la leçon, que ce sera un régime pseudo-périodique. Mais au pire, on recalcule le discriminant. C'est moins 15 quarts de ω0², donc c'est strictement négatif. À partir de là, les racines de l'équation caractéristique, ce sont des complexes conjugués. Donc c'est moins ω0 sur 2Q plus ou moins Iω0 sur 4 racines de 15. Et on peut la mettre sous la forme classique pour une pseudo-périodique. Donc moins α plus ou moins Iω. Et la solution homogène associée, c'est la formule à connaître par cœur. A cosinus de ωt plus B sinus de ωt, le tout facteur de exponentiel moins αt. Alors, la deuxième étape, c'est de chercher une solution particulière. Là, on cherche forcément des constantes. On remarque que T associ E sur R vérifie l'équation différentielle. Donc c'est bon, on a notre solution particulière. Ensuite, il suffit de sommer et de déterminer les constantes. En sommant, on obtient que... J'ai mis un petit indice H, mais ici c'est plus homogène, c'est bon. Le courant I de T, c'est A cosinus de ωt plus B sinus de ωt, exponentiel de moins αt, plus E sur R. C'est bon, je l'ai dit d'une traite. Et puis, lorsque l'on a le réflexe, on dérive directement juste après, pour obtenir une expression assez grosse. Et l'évaluation en 0+, des deux grandeurs, permet de déterminer à la fois A et B. Donc on a déduit l'expression de I de T finale. I de T, c'est E sur R plus, moins E sur R cosinus de ωt, plus, en facteur, E sur L de ωt plus E sur R sinus de ωt, exponentiel de moins αt. Là, on fait vraiment la grosse physique mathématique. Et puis on peut représenter l'allure de la solution. On sait qu'on part de 0, et puis on a une tendance, si on pouvait dire, en E sur L, je crois. Et ensuite, on sait qu'on atteint la valeur finale E sur R avec quelques oscillations, c'est un régime pseudo-périodique, et donc il y a des fluctuations autour de ça. Voilà, c'est la fin de cette étude du circuit RLC de manière un peu différente. Donc ça reste la même méthode, mais comme toujours lors des exercices de concours, de toute façon, on va vous faire utiliser les méthodes que vous avez vues durant l'année, mais il faudra s'adapter à des situations qui ne sont pas totalement ce que vous avez vues en cours. Donc là, on n'avait jamais vu encore de RLC en parallèle, ce n'est pas grave, on ne panique pas, on garde la même méthode qu'on a appliquée, il faut être souple, être à l'aise avec la manipulation, et savoir adapter notre raisonnement. Merci beaucoup et à bientôt!

Encore un RLC

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