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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 2nd ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique la filtration d'un signal non-harmonique en se basant sur sa représentation en série de Fourier et la transformation de Fourier en filtrage linéaire. Le signal d'entrée est un signal créneau de pulsation ω1 et d'amplitude A, dont la représentation temporelle est donnée. Une fonction de transfert harmonique F1 de jω qui est égale à 1 divisé par 1 plus jω divisé par ω1 sur 10 est utilisée pour filtrer le signal. Le spectre du signal d'entrée est représenté en multiples de ω1 impaires et l'amplitude est caractéristique d'un grain O. La fonction de transfert du filtre est représentée en diagramme de Bode en phase et correspond à un filtre passe-bas de fréquence de coupure ω1 sur 10. Ensuite, le signal de sortie est déterminé en appliquant la fonction de transfert à chaque sinus du signal d'entrée, avec un facteur de gain et de phase modifiant la fonction. Le signal de sortie est donc la somme des sinus modifiés. En résolvant l'équation, on obtient la formule finale pour le signal de sortie.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va étudier le filtrage d'un signal non harmonique. Il s'agit d'un signal créneau de pulsation ω1 d'amplitude A, dont la représentation temporelle nous est donnée juste ici. Son développement en série de Fourier, très intéressant, s'écrit E de t, qui vaut 4A sur π, fois la somme pour p égale 0 à plus infini de sin 2p plus 1 ω1 t divisé par 2p plus 1. Donc la transformation de Fourier, c'est vraiment une transformation très importante en filtrage linéaire qui nous donne beaucoup, beaucoup d'informations. Et justement on va s'en rendre compte dans la suite de l'exercice. On fait passer ce signal dans un filtre de fonction de transfert harmonique F1 de jω qui est égal à 1 divisé par 1 plus jω divisé par ω1 sur 10. Bon déjà rien qu'en regardant cette fonction de transfert, si on a fait suffisamment de filtrage, on sait que c'est associé à un filtre passe-bas. Première question, représenter qualitativement le spectre du signal d'entrée et la fonction de transfert du filtre. Déterminer la nature du filtre utilisé. J'ai spoilé un peu l'exercice, mais on va le démontrer. Alors qu'est-ce qu'on peut représenter pour le spectre du signal d'entrée? Et bien en fait c'est tout l'intérêt du développement de cette série de Fourier, c'est que ça décompose la fonction considérée juste ici en somme de sinus. Et sauf que le sinus fait ici clairement apparaître les pulsations mobilisées par le signal en lui-même. Devant, il faut repérer le T, on a les informations juste ici. Donc c'est les 2p plus 1 ω1. Ainsi si on représente le spectre suivant ω, l'amplitude relative, et bien on a seulement les multiples de ω1 impaires. Donc ω1, 3ω1, 5ω1, etc. Et quelles sont nos amplitudes? A chaque fois c'est un multiple de 4A divisé par π, mais il est divisé par 2p plus 1 à chaque fois. En fait c'est caractéristique d'un grain O, c'est-à-dire que l'amplitude initiale est divisée par n, l'entier que l'on considère à chaque fois devant ω1. Pour un signal triangulaire, c'est une amplitude divisée par n², c'est-à-dire que l'amplitude décroît bien plus vite. Ici l'amplitude décroît, mais de manière linéaire. Ensuite si on représente la fonction de transfert du filtre, c'est f1. Là je l'ai représenté, le diagramme de Bode en phase. Moi j'avoue que je ne l'aimais pas trop quand j'étais en sub, mais je me suis rendu compte qu'il apportait énormément d'informations et c'était bien plus facile à traiter que le diagramme de Bode en gamme. Il faut en général céder plus facilement du diagramme de Bode en phase. La fonction de transfert pour les basses fréquences est équivalente à 1, donc sa phase est 0. On a une valeur caractéristique, vous voyez ici c'est ω1 sur 10. Lorsque ω vaut ω1 sur 10, la fonction de transfert est 1 sur 1 plus j. La phase de ce nombre complexe est –π sur 4. Et finalement, en plus de l'infini, la fonction de transfert a l'équivalence de ça, de phase –π sur 2. Donc ça c'est clairement l'allure d'un filtre passe-bas, comme on l'avait déterminé, de fréquence de coupure ω1 sur 10. Vu qu'on laisse passer les basses fréquences, mais pas les hautes fréquences. Alors, en déduire l'expression du signal de sortie S de t. Et là vraiment, c'est peut-être l'exercice le plus crucial pour comprendre ce que c'est le filtrage linéaire qu'on fait en électricité. En fait c'est un peu l'aboutissement de tous ces chapitres d'électricité. C'est pour arriver à faire ce filtrage, là, à déterminer le signal de sortie, lorsqu'on a un signal de l'entrée et une fonction de transfert. C'est vraiment crucial. Bon, puisque c'est bien beau de pouvoir, de savoir manipuler les fonctions de transfert, de les calculer, etc. Mais si on ne comprend pas la finalité de tout ça, qui est de prévoir les signaux de sortie, et bien, en soi, on n'a rien compris. Et bien, justement, comment est-ce que ça se passe? On va regarder le signal d'entrée. Et là, il est clairement décomposé en une somme de plein de termes. Et bien, vu qu'on parle de filtrage linéaire, la réponse, ça va être la fonction de transfert appliquée au signal d'entrée, mais qui est égale, vu que c'est linéaire, à la somme des fonctions de transfert appliquées aux petites fonctions, donc au sinus. Alors, comment est-ce qu'on applique une fonction de transfert à une fonction? Et bien, le résultat, ça va être la fonction en elle-même, modifiée de par la phase de la fonction de transfert, et avec un gain aussi devant, le module de la fonction de transfert devant. Ainsi, je m'explique. Vu qu'on est passé en complexe, c'est toute l'utilité de passer en complexe, le signal de sortie complexe, c'est égal à 4A, disé par pi, fois la somme, c'est le filtrage linéaire, de P égale 0 à plus infini, du module à la pulsation du signal considéré, c'est 2P plus 1, oméga 1, pour chaque P, donc le module de la fonction de transfert a cette pulsation-là, du sinus, avec le terme de phase qui a été rajouté, puisque la fonction de transfert modifie aussi la phase, c'est pour ça qu'on trace les diagrammes de Bohn en phase et en gain. Donc ici, qu'est-ce que ça donne? On applique clairement la formule qu'on a établie, c'est la somme pour P égale 0 à plus infini de 1 sur racine de 1, plus, lorsqu'on remplace, ça nous donne 10, fois facteur de 2P plus 1 au carré, fois sinus de 2P plus 1, oméga 1T. Alors, là j'ai mis directement moins pi sur 2. Pourquoi? Et bien puisqu'on se rend compte que la fréquence, la pulsation de coupure, elle est de oméga 1 sur 10. Or, les pulsations qui nous sont données dans le signal d'origine, elles commencent à oméga 1, et ensuite elles s'éloignent très vite, 3 oméga 1, 5 oméga 1, donc c'est très vite, très grand devant la pulsation de coupure. Donc, on est tout le temps dans cette gamme de fréquences ici, soit une phase de moins pi sur 2. C'est pour ça que j'ai directement transformé en moins pi sur 2. Et donc, le sinus d'une phase de moins pi sur 2, ça vous donne un cosinus. Donc le signal, pardon, il n'est pas complexe ici. Le signal réel, S de T, c'est 4A divisé par pi, fois la somme pour P égal 0 à plus infini de 1 sur racine de 1 plus 10, facteur de 2P plus 1 au carré, cosinus de 2P plus 1, oméga T, divisé par 2P plus 1. Voilà, on a réussi à déterminer l'attention de sortie, le signal de sortie en fonction, grâce à la fonction transfert et au signal d'entrée. Donc voilà, c'est un exercice à absolument comprendre, c'est déterminant de comprendre cette résolution, c'est tout l'intérêt du filtrage linéaire. Et avec ça, ça y est, on est rodé. Si on sait déterminer les fonctions transferts et la sortie, eh bien, on est serein, on a compris tout l'enjeu de l'électricité de SUP. Merci beaucoup et puis à bientôt.

Un oscillateur électrique

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