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Complexes : vision algébrique

Le cours présente une méthode classique pour résoudre un exercice de complexe. L'exercice consiste à trouver l'ensemble des z tels que grand z, petit z moins 1 divisé par petit z plus 1 soit réelle. La méthode consiste à poser a et b appartenant à R, et à utiliser la propriété selon laquelle z quelconque est un réel si et seulement si la partie imaginaire de z est nulle. Les calculs sont effectués en posant petit z égal à a plus ib et en utilisant la quantité conjuguée pour simplifier l'expression. Finalement, on trouve que z est réel uniquement si b est nul, ce qui donne l'ensemble des z réels moins l'élément moins 1.

classique de chez classique en complexe, un exercice, en tout cas une petite méthode qu'on voit tout le temps, qu'il faut vraiment savoir faire très très très rapidement pour les cas simples comme celui que je vais présenter, parce qu'ensuite c'est souvent la source d'exercices beaucoup plus complexes se basant sur cette méthode, enfin c'est souvent des exotiques que vous allez retrouver en DS qui vont être un peu des dérivés de ce genre de méthode. On vous dit, on a un petit z qui n'est pas égal à moins 1, mais c'est un complexe à part ça, trouver l'ensemble de ces petits z tels que la quantité, on l'appelle grand z, petit z moins 1 divisé par petit z plus 1, soit réelle. Petit bruit en fond. Il y a une propriété qui est très simple, de court, z quelconque est un réel si et seulement si la partie imaginaire de z est nulle. Première méthode, très très basique, on fonce, on écrit, on ne prend pas la tête, on pose a et b appartenant à R, on se lance, soit a, b appartenant à R tel que petit z s'écrit en fait a plus ib, donc on a a, partie réelle de petit z, b, partie imaginaire, on a donc grand z égal, petit z moins 1 sur z plus 1, a plus ib moins 1, a plus ib plus 1. J'ai juste déjà réorganisé les termes pour avoir a moins 1 plus ib, c'est à dire partie réelle d'un côté, partie imaginaire de l'autre, et a plus 1 plus ib au dénominateur. Bon, et en ça qu'est-ce que je fais? Dans la vidéo précédente, ou dans une des vidéos précédentes, vous avez vu que quand on a des complexes en dessous de la fraction, au dénominateur, ce qu'on fait pour s'en sortir c'est la quantité conjuguée. La quantité conjuguée ça consiste à multiplier par ce machin là, où on change le signe entre la partie réelle et la partie imaginaire. On obtient donc cette chose là qui est un réel au carré, un petit produit à gérer au dessus, on développe, je sépare, j'obtiens d'un côté une partie réelle, c'est à dire, il y a ce truc là qui est commun, toujours, ça fait un peu lourd à l'écran, mais en fait c'est toujours la même chose, ça, ça n'a pas changé. Je sépare juste en gros les termes réels de cette multiplication qui sont celui-ci plus celui-ci multiplié par celui-là, donc ça me fait donc a²-1 quand je fais ce produit, plus, moins i², donc ça fait moins, moins 1, plus, fois b², donc plus b², plus ensuite i fois l'ensemble des autres termes, donc en fait les autres termes c'est ib fois ça et moins ib fois ça, donc vous débrouillez, vous voyez que ça fonctionne. J'applique la propriété, Z qui est ici sera donc réel uniquement si sa partie imaginaire est nulle, si ce truc là est nul. Bon bah ok, ce truc là est nul, si et seulement si, donc im²z est nul, si et seulement si, on a tout ce truc là qui est nul. En fait ça, ça simplifie, il y a du ab qui dégage, donc je me rends compte en développant, si et seulement si 2b est nul, b est donc nul, si et seulement si, z est réel. Et donc j'ai ma solution, ici, alors faut pas oublier, petit rappel à la fin, c'est pas encore la conclusion, vu qu'on m'a dit au début, et c'est normal parce qu'on divise par z plus 1 et que z n'est pas dans le moins 1, j'ai dit pour un z qui n'est pas dans le moins 1, je trouve l'ensemble des z réels, et donc ça sera l'ensemble des z réels, moins l'élément moins 1, voilà ma solution. Ça c'était une petite méthode, un petit peu bourrine, bourrine ça va, méthode en gros, on pose a et b, on voit ce que ça donne. Merci d'avoir regardé cette vidéo!

Z est-il réel ? V1

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