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Complexes : vision algébrique

Dans ce cours de mathématiques, on apprend la méthode pour déterminer si un nombre complexe est réel. Un nombre complexe est égal à son conjugué si sa partie imaginaire est opposée et sa partie réelle est la même. On peut appliquer les propriétés de la conjugaison pour simplifier l'équation. En utilisant ces propriétés, on peut arriver à la conclusion que si z est égal à son conjugué, alors z est réel. Cette méthode est élégante mais pas toujours optimale. Il faut connaître les notions de conjugué et le chapitre sur les nombres complexes pour bien comprendre cette méthode.

méthode qui monte un petit peu en niveau, je vous la donne tout de suite, qui peut des fois être très utile, très élégante, mais des fois, c'est pas toujours qu'elle est super efficace, donc je vous la donne pour que vous la connaissiez, mais on va voir ce que ça donne. C'est une autre propriété de être réel pour un complexe. Être réel pour un complexe, c'est être égal à son conjugué. Rappelez-vous, voilà un nom complexe dans le plan. Alors si vous ne l'avez pas encore vu, je vous le dis à l'avance. Vous le verrez dans la sous-section d'après chez Studio. Ça c'est un nom complexe. On dit, son nom complexe conjugué, Z-bar, c'est celui qui a la même partie réelle, mais la partie imaginaire opposée. Et en fait, on se rend compte que pour les réels, il n'y a pas de partie imaginaire, donc Z et Z-bar sont écrasés ici et sont les mêmes. Donc c'est astucieux de se dire, parfois en tout cas, Z est un réel si et seulement si il est égal à sa quantité conjuguée. Pas sa quantité conjuguée, pardon, à son conjugué. Donc méthode élégante n'est pas toujours optimale, c'est pour ça que j'ai voulu vous la donner en mode avec des pincettes. Élégante parce qu'il n'y a pas de A et B, pas toujours optimale, parce que des fois on va essayer de la forcer, on va se dire, tiens c'est stylé, je vais le faire, et en fait ça ne marche pas, autant mettre A et B. Donc avec des pincettes, mais je voulais vous la présenter quand même. Z égale petit Z-bar. Là je pense qu'il y a une petite correction à faire. Excusez-moi tout de suite. Z égale... Z-bar. Voilà. Z égale Z-bar ici, si et seulement si. En fait tout grand Z, qui est là, égale à la même chose, bar. On va essayer les propriétés de la conjugaison. Donc le conjugué, vous avez vu, normalement ça se transmet très bien avec toutes les opérations très basiques. Genre Z1-Z2 conjugué, c'est Z1 conjugué-Z2 conjugué. Donc ici je me dis, ok, je peux dire que c'est donc Z-1 bar divisé par Z plus 1 bar, et donc Z-1 bar c'est Z-bar moins 1 divisé par Z-bar plus 1. Propriétés que j'applique très vite. Arrivé ici, qu'est-ce que je fais? Propriétés de la conjugaison, je trouve ce truc là, je fais un produit en croix. Et je dis, cette quantité fois ça, égale cette quantité fois ça. Très bien, je développe. J'obtiens Z-Z-bar plus Z-Z-bar moins 1, Z-Z-bar plus Z-Z-bar moins 1. Plein de choses dégagent. Hop, Z-Z-bar ça dégage, moins 1 ça dégage. Et qu'est-ce qui reste? Quand je simplifie un petit peu. 2Z égale 2Z-bar, bon, Z égale Z-bar. Et z égale z-bar, j'applique ce qu'on a dit ici, c'est le critère d'être un réel. Et donc j'ai dit Z égale Z-bar, si et seulement si, z égale z-bar. Pour peu que z soit défini. Donc je conclue si et seulement si z est réel. On se rappelle que z ne peut pas être égale à moins 1. Et donc on retrouve la même conclusion que précédemment, S égale R moins l'élément moins 1. Donc voilà, c'est marrant, c'est une petite méthode un peu optimale, il faut connaître. Donc c'est un peu en avance là peut-être sur le chapitre, c'est pour ça que je vous ai dit que c'était une méthode bonus, il faut connaître ce que c'est le conjugué dans le cours. Connaître ce que c'est le conjugué, connaître ce que c'est... En tout cas, oui, le conjugué. Et voilà, on peut le faire tout l'exo sans introduire de A et B. Voilà, n'hésitez pas à poser vos questions et je vous dis à la prochaine pour une autre vidéo.

Z est-il réel ? V2

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