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Complexes : vision algébrique

Le cours se concentre sur la formule du binôme de Newton, qui donne la valeur de (A + B)^n pour tout complexe A et B. Le cours explique que la formule est valable pour n'importe quel nombre positif n. La formule est assez compliquée, mais elle peut être simplifiée en utilisant le triangle de Pascal. Pour utiliser le triangle de Pascal, on commence par trouver le coefficient 1 et on utilise ensuite une formule pour trouver les coefficients suivants. Le cours donne un exemple pour la valeur de (3-2i)^5 en utilisant cette méthode.

Petit rappel ici avant de lancer un exemple, petit rappel sur la formule du binôme de Newton. Cette formule est valide pour tout complexe A et B, c'est pour ça que je vous l'ai mis ici. Et elle vous donne exactement, en théorie voilà la formule, la valeur de A plus B puissance n. Je me souviens que moi étant au lycée je me disais attends on a A plus B au carré, on a A plus B au cube qui est gérable, est-ce qu'il n'y a pas une formule miracle qui nous donne A plus B puissance n? Et bien en fait si, il y a une formule miracle, c'est cette formule là. Je ne vais pas détailler sur ce que c'est le k puissance n, normalement vous l'avez déjà vu en cours autrement, sinon je ne pense pas que votre prof l'a introduit comme ça, mais si vous ne l'avez pas déjà vu en stat et en proba, je peux vous donner une petite idée ici. K parmi n c'est juste un nombre qui se calcule sans problème, basé sur des factoriels. Factoriel n c'est 1 x 2 x 3 x 4 jusqu'à n, par exemple factoriel 4 ce serait 1 x 2 x 3 x 4. C'est une formule un peu lourde qui ressemble à ça. Et donc A plus B puissance n c'est la somme de tous les termes k parmi n x A puissance k B n-k. C'est donc horrible. C'est très laid, alors vous en aurez besoin surtout si vous êtes assez mateux et vous voulez faire des maths plus tard, parce que peut-être votre cas vous faites des complexes. Bon ben ce sera très important comme formule, mais j'ai envie de vous montrer un peu dans la pratique comment est-ce qu'on gère cette formule. Il y a deux aspects à cette formule. On se rend compte qu'il y a une somme de n plus 1 terme, le terme 1 2 3 jusqu'à n plus le terme 0, ça fait donc n plus 1 terme, avec un produit de A et B qui sont à des puissances différentes mais complémentaires. Imaginez que n vaut 6, là on me dit en fait que j'ai un terme A1 B 6-1. En gros je vais avoir des termes où la somme des puissances dans A et B vaut toujours n, parce que k plus n moins k ça fait n. Donc en gros je comprends que j'ai A1 B 5, A3 B 3, A2 B 4, je l'avais un peu au pif mais je comprends qu'en gros mes termes A x B vont toujours avoir des puissances complémentaires qui valent 6. Donc ça c'est pas très compliqué à retenir en fait, je vais commencer avec A0 B6 par exemple, plus A1 B5. Je vais continuer et je vais tous les trouver. La deuxième partie, ça c'est la nature de chacun des termes de cette somme. C'est en gros un produit de A et B avec des puissances cohérentes. Il y en a plusieurs, une certaine quantité, très bien. Chacun de ces produits de A et B est en une certaine quantité, k par mienne ça appartient à l'ensemble des entiers naturels, c'est un entier. Il y a une certaine quantité de ces produits qu'on peut calculer avec une formule horrible de factorial etc, ou qu'on peut calculer utilisant la fameuse astuce, vous avez peut-être déjà entendu parler, du triangle de Pascal. Le triangle de Pascal vous dit, en gros, vous pouvez trouver pour les différentes valeurs de n, donc A plus B puissance 1, A plus B puissance 2, ça c'est A plus B au carré, A plus B au cube, les coefficients successifs devant les différents termes AK, BN, K. L'idée c'est de se dire, ok, par exemple pour n égale 3, là j'ai commencé à le remplir, donc je vais vous expliquer à quoi ça correspond et comment on le remplit. Chacun des termes ici correspond à un terme AK, BN, K, avec ici K égale, sur les 5, K égale 4, K égale 3, K égale 2, K égale 1, K égale 0. En gros avec le terme où la puissance de A est la plus grande, ici, sur cette colonne, et le terme en dernier où la puissance de B est la plus grande. Ce qu'on vous dit, c'est que par exemple pour n égale 3, j'ai déjà rempli ici, en fait, en lisant ce tableau, je comprends que j'aurais déjà rempli donc ces coefficients-là. J'aurai donc 1 fois A puissance 3 plus, combien de fois le terme A2, B1? 3 fois. Plus combien de fois le terme d'après qui est A1, B2? Encore 3 fois. Plus combien de fois le terme final qui est B3? Une fois B3. J'ai écrit un peu moche là, mais voilà. Donc ça en gros c'est la liste pour chacune de ces sommes, pour les différents n, c'est la liste des coefficients qui s'appliquent aux différents produits successifs de A et B et de leur puissance. Voilà, donc c'était un peu long en explication, mais je vais vous mettre bien en tête la structure de ce truc-là. Donc par exemple, pour n égale 3, je vous l'ai fait, pour n égale 4, ça c'est A4, ça c'est A3 fois B1, ça c'est A2 fois B2, A1 fois B3, B4. Et les coefficients qui sont devant, 1, 4, 6, 4, 1. D'où sort-il? Eh bien c'est très simple, quand vous partez de en haut, donc là c'est A plus B, c'est très simple, quand n égale 1, il y a 1 fois A plus 1 fois B. Vous pouvez retrouver très facilement tout le tableau avec une règle très facile. La première règle, c'est qu'en fait il y a toujours un 1 au début. La deuxième règle qui est un peu similaire, c'est qu'il y a toujours un 1 à la fin. La règle de calcul des coefficients successifs, c'est de dire, le coefficient qui est là, c'est la somme des 2 qu'il y a au-dessus. Donc par exemple, si je veux trouver ce coefficient-là, je vais me dire, je prends la somme de celui qui est au-dessus et celui à sa gauche. 3 plus 3, tac. En fait on fait toujours un mouvement comme ça. Donc par exemple ici, quel est le terme ici? Je fais 4 plus 6, ça donne 10. Donc imaginez que vous partez de là, vous faites 1 plus 1, 2, vous avez ce au bord 1, 1, tout ça n'existe pas, j'ai pas encore fait. J'ai 1, 1, ça fait 2, j'ai les 1 au truc, voilà, aux extrémités c'est bon, j'ai 1, 2, 1. Imaginons maintenant que je connaisse tout ça, mais que je ne connais pas tout ça. Quels sont les termes de n égale 3? 1, bon ça c'est le même au début, ensuite j'aurai 1 plus 2, 2 plus 1, puis le 1 final. Donc je fais en effet 1 plus 2, 3, 2 plus 1, 3, terme final c'est le 1, on ne touche pas. En fait en faisant cette petite règle, on trouve exactement les bons coefficients. On pourrait démontrer pourquoi est-ce que ce truc là correspond, fonctionne, c'est une démonstration qui n'est pas bien compliquée, mais ce n'est pas mon point ici. Donc en gros, soit vous avez cette formule que vous appliquez comme des bourrins à chaque fois, soit vous retenez la logique du truc. Alors je sais que j'ai bien mis 3-4 minutes à l'expliquer, mais donc la logique du truc c'est qu'il y a des termes avec une certaine cohérence de produit de A et B, avec une cohérence de puissance qu'on peut ranger dans un certain ordre, et les coefficients de chacun de ces termes ont une logique entre eux, c'est le triangle de Pascal. Voilà, donc ici ensuite, qu'est-ce que j'ai à faire pour mon exercice? Tout ce que j'ai à faire honnêtement c'est appliquer ce que je viens de vous dire à 3-2i. Bon là je vous laisse regarder, je ne me suis pas pris la tête trop. On a A égal 3, B égal-2i, N égal 5. Je l'ai fait ici, je vous ai rappelé une propriété intéressante sur les différentes valeurs des puissances successives de i. i² c'est moins 1, i³ c'est moins i, i³ on est revenu à 1, i5 c'est donc i. Vous vous débrouillez avec ça et vous trouvez à la fin quelque chose ici. C'est un peu moche, je vous laisse faire l'application, vous pouvez mettre pause, vous pouvez le faire vous-même. L'important c'était pour moi de vous expliquer bien, avec ensuite un exemple derrière, la logique pratique du triangle de Pascal et du binôme de Newton. Parce que la formule fait peur alors qu'en fait il est possible de s'en sortir et de comprendre la logique et donc de savoir l'appliquer facilement. Parce qu'on a compris comment s'organisent les termes. C'était assez long pour ça, je vous laisse ici poser des questions s'il y a besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Binôme de Newton

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