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Complexes : vision algébrique

Dans cette leçon sur les complexes, il est demandé de factoriser une expression. Avant de se lancer dans la factorisation, il est recommandé d'observer les puissances successives de i pour identifier une astuce. En remarquant que 27 = 3^3 et que 8 = 2^3, et en connaissant la formule pour la somme de deux cubes, on peut exprimer 27z³-8i comme étant égal à 3z le tout au cube plus 2i le tout au cube. En appliquant la formule pour la somme de deux cubes, on peut factoriser l'expression. Cette méthode est avancée, mais elle permet de gagner du temps dans la résolution d'exercices.

Dans cette vidéo, un exercice un petit peu plus compliqué. Alors, on va juste devoir factoriser. Ça ne va pas être compliqué une fois qu'on aura débroussaillé un peu toutes les écritures, mais c'est un exercice qui a une difficulté dans le fait qu'il faut vraiment se concentrer pour y arriver. Parce que sinon, quand on voit ça la première fois, on pourrait un peu se braquer et se dire « mais qu'est-ce que c'est que ce truc? Comment est-ce que je fais lien entre ces deux choses-là? » Un truc qui serait un peu dommage de faire, ça serait de lancer tout de suite une factorisation en disant « 27z³-8i », c'est une méthode qui marcherait, mais égale, 3z plus 2i fois, et on lance un az² plus bz plus c. Pourquoi? On se dirait là, en fait, vu que j'ai du degré 3 ici, je ferais degré 1 fois degré 2, et je pourrais tout développer et identifier terme à terme exactement ce qu'il me faut comme a, b et c pour trouver 27z³-8i des deux côtés. C'est un peu galère. Pour éviter tout ça, c'est là qu'est la difficulté, donc il y a la méthode Bourrine qui existe, mais pour éviter ça, si on observe, et si on connaît bien, donc une astuce que j'ai déjà citée quelque part en vidéo, si on connaît bien ces puissances successives, en tout cas les quelques premières, de i, on peut trouver tout de suite l'astuce. On remarque 27 égale 3 au cube. Oui. 8 égale 2 au cube. Oui. Donc on commence à voir qu'il y a le 27 et le 3 qui sont liés par un cube, le 8 et le 2. Et si on observe que en fait i au cube ça fait moins i, et que donc là en fait j'ai du moins i que je pourrais remplacer par i au cube. Qu'est-ce qu'il se passe? Pouf! Je peux écrire 27z³-8i qui est égal à 3z le tout au cube plus 2i le tout au cube. Si vous connaissez en plus le petit point de culture g qui vient dans une seconde, alors l'exercice est torché. Je ne sais pas si vous l'avez, mais là vous avez quelque chose au cube plus quelque chose au cube. Il y a une formule, si vous la connaissez, l'exercice est fini. La formule c'est la suivante. C'est x3 plus y3, quel que soit x, y du complexe en l'occurrence, c'est égal à x plus y, facteur de x² moins xy plus y². Je considère que c'est un exercice difficile parce que je vous en demande beaucoup, j'en suis conscient. Vous pourriez faire une méthode beaucoup plus lourde et beaucoup plus laborieuse d'identification de coefficients qui marcherait, mais si vous êtes un peu astucieux, vous savez observer, et en plus vous connaissez bien des formules un petit peu poussées, c'est vrai, je profite que ce soit le chapitre des complexes pour me dire, je peux leur donner des formules comme ça, peut-être que le prof ne l'a jamais donné, mais en tout cas pour vous c'est l'occasion de se dire que c'est bien de connaître ça par cœur. Alors c'est bon. Cette formule c'est la factorisation de la somme de deux cubes. Vu qu'on a observé et qu'on a remarqué que ça c'était la somme de deux cubes, et que c'était exactement ces deux trucs là au cube. Si je sais que a3 plus b3 s'écrit a plus b fois quelque chose, c'est bon. Parce que ça c'est le a plus b et ça c'est le a3 plus b3 donc ça va marcher. Et donc ensuite il suffit d'appliquer la formule. Donc la formule c'est ça, tout ce que j'ai à faire c'est appliquer a2 moins ab plus b2, bon pardon, x² moins xy plus y2, j'applique ici et je trouve ce truc là. En soi on pourrait peut-être aller plus loin, regarder si ce machin se factorise, mais c'est peut-être le cas en soi, mais je ne vais pas me prendre la tête. Je ne vais pas me prendre la tête, je ne pense pas qu'il se factorise, j'en sais rien. Moi on me demande juste de factoriser au moins une fois, donc je m'arrête là, tout marche bien. Voilà j'espère que c'était clair. Donc c'est une méthode vraiment là, je considère que c'est une méthode avancée, mais dites-vous que c'est l'occasion d'apprendre cette formule, et de bien retenir qu'il faut bien observer dans le genre d'exos pour pouvoir peut-être trouver, hop, la petite manière qui va bien vite, plutôt que de lancer dans un truc bourrin qui peut faire perdre du temps. Voilà, posez la question si c'est nécessaire pour vous, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Factoriser un cube ?!

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