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Nombres Réels

Dans cette vidéo, on cherche à trouver les bornes supérieures et inférieures d'un ensemble. L'exemple utilisé est l'ensemble A, qui est composé de 1/n plus ou moins 1, avec n qui décrit n étoiles. Pour trouver les bornes, on doit comprendre comment les éléments de A évoluent. On peut ainsi remarquer que le terme en 1/n décroît vers 0, et que le terme en moins 1/n oscille entre -1 et 1. En examinant les premiers termes, on peut déduire que le plus grand élément de A est 3,5, et que le plus petit est -1. En utilisant des théorèmes d'encadrement, on peut démontrer que la borne inférieure de A est -1, et que la borne supérieure est 3,5. Cette méthode ne nécessite pas toujours de revenir à la définition de la borne supérieure et inférieure avec ε, mais peut être utilisée avec des suites et des théorèmes d'encadrement.

Salut à tous, on va faire une deuxième méthode sur les bornes de SUP et les bornes de INF pour être sûr que vous ayez compris, avec un deuxième exemple. Allez c'est parti, sur ce nouvel exemple, là ce qu'on cherche c'est de trouver le SUP et le INF d'un deuxième ensemble qui est l'ensemble A, l'ensemble des 1 sur n, plus ou moins 1, plus 1 sur n, avec n qui décrit n étoiles. Alors première chose dans ce genre d'exo, ce qui est important c'est de comprendre, d'essayer d'avoir une idée de la solution. Comme ça, ça va être plus simple à montrer. Donc là c'est pas très très dur quand même, si on regarde la suite, on voit bien ce qui se passe. Le 1 sur n, lui, il va décroître vers 0 petit à petit, et le moins 1 sur n, il va osciller entre le moins 1 et 1. Donc c'est moins 1 ou 1 auquel je rajoute un réel qui va être de plus en plus petit. On peut regarder aussi les premiers termes, ça c'est une bonne méthode pour prendre compte. U1 ça vaut 0, U2 ça vaut 1 plus 1 demi, U3 ça vaut 1 tiers moins 1, U4 ça vaut 1 quart plus 1. Donc volontairement je n'ai pas simplifié pour qu'on voit bien ce qui se passe. Le terme en 1 sur n est envers 0, donc quand est-ce que je vais avoir le nombre le plus grand? Comme le 1 sur n décroît et est envers 0, il faut que je prenne le plus petit entier possible, mais de telle sorte que le moins 1 puissance n soit aussi lui égal à 1. Donc là c'est simplement quand n égale 2. Comme ça j'ai bien plus 1 et plus 1 demi. Ça fait 3,5, on se rend compte que c'est un 1 de 8, que c'est un abord de sup, et en plus ça sera un maximum puisqu'il est à 1. Par ailleurs le 1 de A, là aussi on peut se rendre compte que le moins 1 puissance n est aussi entre le moins 1 et 1, et plus un terme positif qui met 8 va décroître vers 0. On a l'impression que 1 sur A ce sera moins 1, et là pour le coup il ne sera pas atteint, puisque 1 sur n n'est jamais égal à 0, il tend vers 0 mais sans être égal. Donc on va faire la démonstration formelle. Interrompons-nous d'abord aux termes proches de 1. Tous les termes pairs qui ont moins 1 puissance n vaut 1. C'est tous les termes de la forme U2N, ça vaut 1 plus 1 sur 2n. La suite U2N est strictement décroissante et positive, donc en fait pour le premier terme ça va être le plus grand. Pour le coup tous les termes pairs sont plus petits que 3,5. C'est pas suffisant car il faut que je montre que les termes impairs sont aussi plus petits que 3,5. U2N-1 sont des termes impairs, ils sont de la forme moins 1 plus 1 sur 2n-1, exactement la même chose, cette suite décroît. Or 1 sur 2n-1 est un terme qui est toujours positif, et donc je suis sûr que ce nombre là est supérieur à moins 1. Donc finalement je prends comme elle est décroissante, elle est plus petite que son premier terme, et donc U2N-1, j'ai pu l'encadrer entre moins 1 et 0. En résumé, si on récapitule, on a U2N qui est compris entre 0 et 3,5, et U2N-1 qui est compris entre moins 1 et 0. Tout ça me permet de trouver des majeurs rangs, et je peux encadrer de façon plus large UN entre 3,5 et moins 1. A est une partie bornée et non vide de R, puisqu'elle contient des éléments. Je sais d'après mon cours que sub2A et inf2A existent. Par ailleurs, vu que j'ai trouvé un majeur rang et un mineur rang, je sais que inf2A va être supérieur ou égal à ce majeur rang, et sub2A va être inférieur ou égal à ce majeur rang. 3,5 se trouve être égal à U2, donc je sais que le sub2A, c'est 3,5, et que c'est un maximum dans ce cas-là. Pour prouver que moins 1 est égal à inf2A, je vais faire un théorème d'encadrement. Je sais que moins 1 est un majeur rang, inf2A est le plus grand de tous les mineurs rangs, donc il est supérieur ou égal à moins 1, mais l'inf est inférieur à tous les éléments de A, en particulier les U2N-1, qui font de la forme moins 1 plus 1 sur 2N-1, et ça tend vers moins 1, ça, quelque part, tend vers moins 1 aussi, même si c'est constant, et donc je vais simplement faire un théorème d'encadrement, et je sais que inf2A va être égal à moins 1. Donc voilà, on n'est pas revenu cette fois au ε, contrairement à la méthode précédente, je n'ai pas eu besoin, ce n'est pas toujours nécessaire de revenir à la définition, mais avec les suites et les théorèmes d'encadrement, on peut trouver les bandes supérieures et les bandes inférieures, c'est une deuxième méthode. Voilà pour cette vidéo.

Bornes supérieure et inférieure

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