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Dans ce cours, l'objectif est de montrer que la constante mathématique E est irrationnelle. Cette méthode est plus complexe que celle utilisée pour démontrer l'irrationalité de log de 2 et de la racine de 2, mais elle est guidée. L'énoncé invite à montrer une relation sur E et à encadrer la différence entre cette relation et E. Pour la première question, on utilise une récurrence. Pour encadrer la différence, on utilise l'intégrale de la première question et on essaie de la majorer et de la minorer. Enfin, pour montrer que E est irrationnelle, on suppose qu'elle est rationnelle puis on cherche une absurdité. Il suffit alors de prendre un n bien choisi pour montrer que l'hypothèse est fausse et donc que E est irrationnelle. Cela prouve l'intérêt de cette méthode élégante pour démontrer l'irrationalité de E.

Salut à tous! Maintenant on va attaquer les méthodes un peu plus compliquées, notamment montrer que E est irrationnelle. C'est un niveau plus élevé que ce qu'on a vu précédemment, c'est à dire montrer l'irrationalité de log de 2 et racine de 2, mais comme vous allez le voir l'exercice est guidé. C'est parti! Alors dans un premier temps on va un peu analyser l'énoncé puisqu'il y a plusieurs questions. Donc l'énoncé nous invite à montrer une relation sur E, de montrer que c'est une somme plus une intégrale. Donc on va considérer ça comme une première question. Ensuite on va encadrer la différence entre E et cette somme là. D'ailleurs on reconnaît le développement limité de l'exponentiel. Et ensuite on va raisonner par l'absurde et on espère trouver une absurdité. Alors pour cette question 1, évidemment ce qu'on a envie de faire là c'est une récurrence. Donc on va faire ça, vous allez voir finalement la récurrence n'est pas très compliquée. Si on suit bien les ordres ça se fait assez naturellement. Ensuite pour la question 2, on sent bien que quand je fais la différence il reste ça. Donc c'est cette intégrale qu'on va devoir encadrer. Donc on va chercher mais voilà c'est vraiment l'intégrale qu'on va devoir encadrer. Donc peut-être on va encadrer ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale entre 0 et 3 sur n plus 1 factoriel. Et enfin pour la dernière question, alors là c'est un peu dur à ce niveau là de l'exercice de vraiment savoir mais on a envie de... on va supposer que E est rationnelle, donc qui s'écrit sous la forme A sur B. Et voilà on va utiliser les relations précédentes pour montrer qu'elle est vraie pour toute n, ça c'est très important. Elle est vraie pour toute n et pour un n bien choisi, c'est l'intuition qu'on peut avoir, cette relation ne sera plus vraie. Donc c'est... voilà on n'y est pas encore mais dans l'idée c'est comme ça qu'on va essayer de raisonner. Alors donc c'est parti, moi je vais décomposer en trois questions, une de trois. Première question, donc on a dit on peut une récurrence, très bien, bon je pose ma propriété P2n qui est ce qui est demandé, donc là jusque là pas de problème. Pour n égale 0 je calcule mes deux termes, donc le premier terme il vaut E-1, mon intégrale, et donc j'ai bien... je peux bien écrire E sous la forme 1 qui est ma somme, plus E-1, évidemment c'est une décomposition bête et méchante, donc ça marche. Comme d'habitude l'initialisation n'est pas très compliquée. Ensuite pour l'hypothèse pour l'hérédité, alors là franchement moi je dis toujours aux élèves, écrivez vraiment, surtout quand ça commence à être un peu plus compliqué, écrivez la propriété P2n, donc écrivez ce que vous supposez, bon ça souvent vous l'avez écrit juste en haut, donc il n'y a pas de problème, mais montrez en fait ce que vous voulez montrer, c'est à dire que Pn plus 1 est vrai, mais pour l'avoir sous les yeux, alors que ce soit au brouillon ou sur la copie, vous voyez là j'ai bien mes deux expressions 1 et 2, et l'avoir les deux sous les yeux ça me permet de voir c'est quoi la différence entre les deux, et comment je vais passer de l'une à l'autre. Et quand on l'a pas sous les yeux, parfois c'est bête mais ça change, et ça fait que je vais moins avoir l'intuition. Donc on écrit toujours Pn plus 1 explicitement pour l'avoir sous les yeux. Qu'est ce que je vois? J'analyse, il y a un plus 1 ici, donc il y a un terme de plus, et là les n plus 1 changent, c'est plus n c'est n plus 1. Donc comme ça, sans faire trop de... comment est-ce qu'on augmente le degré d'une puissance dans une intégrale? Ça va être une IPP, c'est franchement le meilleur moyen, donc on va regarder comment ça marche. Donc évidemment j'ai très envie de faire une IPP, j'ai envie d'augmenter le degré de cette puissance là, donc là s'il vous plaît ne vous trompez pas sur les primitives, vous n'êtes plus en terminale, c'est pas là dessus qu'on vous attend, vous n'avez plus le droit de vous tromper sur la primitive de 1-t puissance n. On n'oublie pas qu'il y a un moins ici, donc c'est de la forme la primitive moins 1-t puissance n plus 1 sur n plus 1. Si vous avez un doute, moi ce que je dis toujours c'est redérivez cette expression rapidement dans votre tête pour être sûr que vous vous retombez bien là dessus, parce qu'on peut toutes se tromper d'un facteur moins, ou d'avoir mis divisé par n plus 1 au lieu de fois n plus 1, peu importe, mais voilà en tout cas ne vous trompez pas là dessus parce que ça vous ferait foirer tout l'exo. Donc si ça c'est la fonction que je dois intégrer, l'autre c'est celle que je dérive, ça tombe bien l'exponentielle, sa dérivée c'est elle même, donc pas de difficulté. Ensuite, c'est parti pour les calculs. Je fais mon calcul d'IPP, il se trouve que ce terme là ça fait 1 sur n plus 1 factoriel, c'est parfait, c'est exactement celui dont je vais avoir besoin là pour faire le terme supplémentaire, et ensuite en utilisant la formule je vois que je tombe exactement sur ce que je veux, donc parfait, pas de problème, ça marche parfaitement bien, pn plus 1 est vrai, donc d'après le principe de récurrence j'ai bien cette égalité. Ensuite l'autre question c'est l'encadrement, donc je vais évidemment utiliser la question 1, là il n'y a pas trop de doute parce qu'on reconnaît le terme ici, c'est celui qu'on a vu juste avant, donc la différence est égale à la fameuse intégrale de la question 1, donc on va devoir encadrer cette intégrale. Là je vous ai laissé volontairement les pistes, donc on a envie de dire que ce soit plus grand que 0, ça c'est pas trop dur en fait, 1-t pour t appartenant à 0,1 c'est positif, e2t aussi, tout ça est positif, donc par positivité de l'intégrale, c'est la propriété dont il faut nommer dans votre rédaction, on a bien l'intégrale qui est positive, ce côté là c'était pas très dur. Ensuite l'autre côté, j'aimerais montrer que c'est plus petit que 3 sur n plus 1 factoriel, donc je peux utiliser l'encadrement 1-t c'est plus petit que 1, 1-t puissance n c'est plus petit que 1 aussi, si en fait on majeure cette fonction là par 1, ça ne marche pas, donc finalement cet encadrement est inutile, c'est pas comme ça qu'on peut faire, mais ça peut être une piste de majoration. En fait ce qu'on va faire c'est plutôt e2t qu'on va essayer de majorer, donc e2t entre 0 et 1 est plus petit que e, et lui même plus petit que 3, c'est là en fait le 3 il vient de là, il faut penser à d'où on a un 3, d'où il vient ce 3 quand on regarde la question, en fait ce 3 c'est plus grand que e, qui vaut 2.72. Donc je vais utiliser cette majoration, donc je majore e2t par 3, je peux le sortir de mon intégrale, et ensuite j'ai un calcul d'intégrale assez classique, et je me rends compte que tout simplement j'aboutis exactement ce que je voulais, puisque j'ai du n factoriel fois n plus 1 qui apparaît ici, ça me fait bien du n plus 1 factoriel, parfait ça marche. Donc ce que je voulais faire tout à l'heure au début, et la piste que vous auriez pu essayer d'avoir, c'est de dire je majore plutôt en moitié puissance n, on dit que c'est plus petit que 1, mais si vous faites le calcul pour l'avoir fait, on aurait obtenu comme majorant 3 sur n factoriel, et or on veut 3 sur n plus 1 factoriel, donc qui est lui un peu plus petit, donc malheureusement cette méthode n'aboutit pas, donc ça arrive, ça ne marche pas, on essaye une autre méthode. Ensuite on peut raisonner par l'absurde et montrer que E est irrationnel, donc comme on l'a dit tout à l'heure je suppose que E s'écrit de la forme A sur B, avec A et B positif puisque E est positif, et ce que j'aimerais dire c'est que pour un certain n bien choisi, l'encadrement qu'on a trouvé là haut ne fonctionne plus. Alors l'idée, et c'est là où c'est pas évident, c'est d'essayer de voir qu'on va essayer de travailler avec des entiers, et de voir que c'est pas possible de trouver un entier compris entre le terme de gauche et le terme de droite. Donc je vais me débarrasser des fractions, qu'est ce que je fais? Je multiplie par B et n factoriel, donc là je me retrouve avec cette relation là, quand je multiplie par B et n factoriel, donc A fois n factoriel c'est un entier, n factoriel sur k factoriel c'est un entier aussi pour chaque terme, puisque n factoriel c'est n fois n-1 fois n-2, etc. Et k est plus petit que n, donc forcément ce truc là fera toujours un entier. Donc j'ai un entier et moi un autre entier, c'est un entier aussi, et je me retrouve avec 3B sur n plus 1. Donc l'idée c'est de choisir n de telle sorte que ces deux entiers là soient suffisamment proches pour que je ne puisse pas trouver d'entier entre les deux. Donc c'est quoi l'entier le plus proche de 0? Au dessus c'est 1. En fait il suffit juste que je choisisse n plus 1 pour que ce terme 3B sur n plus 1 soit inférieur à 1. Donc ce que je disais tout à l'heure c'est que effectivement ce terme là est tout le temps appartient à z mais en fait il appartient à n. Donc peu importe, en tout cas on disait que cette quantité est un entier. Donc comment choisir n pour que 3B sur n plus 1 soit inférieur à 1? Il suffit de prendre n égale 3B par exemple, du coup j'aurai 3B sur 3B plus 3, et donc 3B sur 3B plus 3 c'est inférieur à 1. Donc pour ce n là je me retrouve avec 0 qui est inférieur à un entier qui est inférieur à 1 avec des inégalités strictes. Donc c'est impossible. Ca veut dire quoi? Ca veut dire que l'hypothèse initiale était fausse et donc que E est bien irrationnelle. Donc voilà pour cette méthode. Alors évidemment on a besoin de suggestions de l'énoncer mais c'est une façon très élégante de montrer que E est irrationnelle.

Irrationnalité de e

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