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Dans cet exercice, on veut montrer que le sup de l'ensemble des valeurs absolues de x-y avec x et y qui parcourent A tout entier, c'est égal à sup de A-imp. Pour cela, on utilise la définition de la borne sup avec des petits epsilon. On démontre d'abord que sup de A-imp de A est un majorant de l'ensemble recherché, puis que c'est le plus petit des majorants en utilisant le fait que M et m sont les bornes sup et inf de A. En posant epsilon supérieur à 0 et en utilisant les bornes sup et inf, on montre que sup de l'ensemble B, les valeurs absolues de y-x, est égal à sup de A moins inf de A.

Salut à tous, pour finir sur les bornes sup et les bornes imp, on va attaquer une dernière méthode qui est d'un niveau légèrement supérieur. C'est parti! Alors voici l'exercice. On a une partie A, non vide des bornes et de R, et ce qu'on veut montrer c'est que le sup de l'ensemble des valeurs absolues de x-y avec x et y qui parcourent A tout entier, c'est égal à sup de A-imp. Alors cet exercice là, il faut avoir un peu d'intuition, c'est pour ça qu'il est plus dur. Déjà l'énoncé est court, on n'a aucune description de ce qu'est A, donc on comprend que ça va être un exercice un peu théorique. On va devoir revenir à la définition de ce que c'est une borne sup avec des petits epsilon. Donc ça c'est la première chose. Ensuite, pour montrer que c'est une borne sup, déjà on va montrer que sup de A-imp de A est un majorand de l'ensemble recherché, et ensuite on va montrer que c'est le plus petit des majorands. Déjà on peut écrire ce qu'on veut montrer, ça veut dire que j'ai mon sup de A-imp de A, et ce qu'il faut que je prouve c'est que pour toute epsilon, si je prends une epsilon quelconque, je vais trouver un élément de la forme x0-y0 qui va être compris entre sup de A-imp de A et sup de A-imp de A-epsilon, qui est ici. Donc il faut qu'il soit une distance epsilon proche de sup de A-imp de A. C'est comme ça qu'on va procéder pour le démontrer. C'est parti pour la démonstration. D'abord, on en trouve des bornes ouvertes, imp de A et sup de A existent. Attention, c'est pas toujours défini, on a une partie non-vide bornée de R qui est précisée dans l'énoncé, donc c'est du cours, c'est bon. Pour faciliter les notations, je vais poser m égale imp de A, m égale sup de A, et je vais appeler B l'ensemble des valeurs absues de y-x, avec y et x qui parcourent A tout entier. Je l'appelle B cet ensemble. Par définition, comme x et y appartiennent à A, ils sont tous compris entre la borne de sup et la borne de R. Ce que je vous conseille, ce n'est pas très compliqué, mais ce que je vous conseille vraiment, c'est de jamais soustraire les inégalités. C'est le meilleur moyen de se dire, oui il faut que je soustraie, mais ça change le sens, etc. Non, le mieux c'est que vous multipliez par moins un ce que vous voulez, comme ça vous changez tranquillement le sens de l'inégalité, et ensuite vous additionnez. On additionne, parce que ça c'est le meilleur moyen pour se planter, j'ai un paquet d'élèves qui font ça. Donc voilà, je multiplie par moins un mon inégalité, comme ça j'ai changé les sens, etc. Parfait. Et ensuite j'additionne ce que je veux additionner. Donc j'obtiens deux inégalités, la première c'est que y-x est compris entre M et M, et vice versa. Pour y-x. Donc dans les deux sens ça marche. Donc je peux passer à la valeur absolue, et donc j'en déduis que quand je passe à la valeur absolue, c'est plus petit dans les deux cas que M-m. Donc M-m est bien un major. Donc ça déjà c'est gagné, maintenant je vais montrer que c'est le plus petit des major. Alors comme on l'a dit, on va revenir au epsilon, donc je pose epsilon supérieur à 0, et là je vais utiliser le fait que M et m sont les bornes sup et les bornes off. Et donc comme M est la borne sup, je sais que je peux trouver un x0 qui est situé à une distance inférieure à epsilon sur 2. Pourquoi epsilon sur 2 et pas epsilon? Parce qu'en fait je vais sommer deux fois epsilon sur 2 et ça va faire epsilon. Donc je sais que je suis capable de trouver un x0 qui est plus grand que, et qui évidemment appartient à A, et qui est plus grand que sup de A moins epsilon sur 2. De la même manière, de ce côté là, je peux trouver, je suis sur un y0 qui est compris entre M et M plus epsilon sur 2. Donc je sais que je peux en trouver un compris entre là et là. Et ensuite j'ai plus qu'à sommer tout simplement. Donc si je calcule la valeur absolue de y0 moins x0, dans ce cas là, tel que je les ai définis, ça veut dire que si je veux retirer les valeurs absolues c'est x0 moins y0, et je sais que tous les deux sont, alors là c'est pareil, n'oublie pas pour le sens des inégalités de ne pas se tromper, et donc j'ai x0 moins y0 qui est plus grand que sup de A moins epsilon sur 2, moins inf de A plus epsilon sur 2. Donc finalement c'est supérieur à sup de A moins inf de A moins epsilon. Et là si on se rend compte, en fait j'ai démontré exactement ce qu'il fallait montrer, c'est à dire que sup de A moins inf de A est un majorand, d'une part, et d'autre part que pour toute epsilon supérieure à 0, je peux trouver un élément appartenant à B, ce valeur absolu de y moins x, qui est supérieur à sup de A moins inf de A moins epsilon. Donc j'ai bien prouvé que le sup de cet ensemble que j'ai appelé B est égal à sup de A moins inf de A. Donc voilà pour cette méthode un peu plus compliquée où il faut revenir aux epsilon, à savoir maîtriser aussi parfaitement pour la suite.

Diamètre d'un ensemble

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