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Analyse

Continuité sur un segment

Dans cet exercice d'analyse de fonctions, l'objectif est d'être très rapide, donc il faut dresser rapidement le tableau de variation de G, qui est un polynôme, en n'oubliant pas de calculer les limites et les extrémums locaux. Ensuite, on doit déterminer l'équation de G de X égale à 0 avec X appartenant à R et donner un encadrement alpha à 10-1 près, en utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires qui garantit l'unicité de la solution de G de X égale à 0 si on a des valeurs qui encadrent 0, ce que l'on trouve dans notre cas. On peut utiliser la calculatrice pour encadrer alpha. Ensuite, on étudie la fonction f, définie par 1 moins X sur X3 plus 1, en utilisant la dérivée f' qui est exprimée en fonction de G. En étudiant le signe du numérateur de f', qui est G de X, on peut déduire le signe de f' et les variations de f sur moins 1 plus l'infini, ce qui permet de répondre à la question 3.

Salut c'est Paul! Pour un exercice un peu sur les fonctions, l'analyse de fonctions pour être plus précis. C'est un exercice un peu de type fin de terminale, mais du coup ça veut dire qu'en prépa, en fait la compétence qu'on va rechercher c'est la vitesse. Sur ce type d'exercice, votre cerveau doit être en autopilote et aller très très vite. Donc on a G, un polynôme ici, et on va dresser le tableau de variation de G d'abord. Donc G est dériviable, polynomial sur R, et G' de X est égal à 6²-6X. C'est un polynôme mais on peut le factoriser donc on ne calcule pas son déterminant. On a ses deux racines, et donc on a son signe. Et on peut dresser le tableau de variation de G en n'oubliant pas de calculer les limites. Donc les limites ici, c'est plus infiniment à l'infini parce qu'on a à faire un polynôme d'ordre 3. Et on calcule bien les extrémums locales. Donc la question 2, maintenant. On va montrer que l'équation G de X est égal à 0 avec X appartenant à R, elle met une solution alpha et donne un encadrement alpha à 10-1 près. Donc là, on va d'abord remarquer que ici G sur moins l'infini 1 est strictement inférieur à 0. Donc l'équation qu'on cherche n'a pas de solution sur cet intervalle. Mais de plus, maintenant on travaille sur cet intervalle, là elle est strictement croissante. Donc ça va être le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires qui garantit l'unité de la solution G de X égale à 0. Uniquement si on a des valeurs qui encadrent 0, ici donc une limite en plus infini qui est égale à plus infini et G de 1 qui est égale à moins 2. G est continu sur l'intervalle, donc sur R ça garantit la continuité sur l'intervalle. Donc on a la stricte croissance pour le corollaire. Et donc d'après le corollaire du TVI, théorème des valeurs intermédiaires, G de X égale à 0 possède une unique solution alpha sur 1 plus l'infini. Donc G de X égale à 0 possède une unique solution alpha. A la calculatrice, maintenant, on peut encadrer alpha. Ça vous savez faire. Donc déterminer le signe de G de X sur R, directement d'après le tableau de variation, on a alpha ici avec 0 alpha. Ici G est négative, ici G est positive. Donc d'après le tableau de variation et la question précédente, on a que quel que soit X appartenant à moins l'infini alpha G de X strictement inférieure égale à 0 et quel que soit X appartenant à alpha inclus plus l'infini G de X est supérieur ou égal à 0. Maintenant on a la fonction f définie par 1 moins X sur X3 plus 1 et on va utiliser f' et exprimer l'expression en fonction de G. Donc on a eu le dénominateur qui est dérivable et différentes 0 sur moins 1 plus l'infini, le numérateur est dérivable sur l'intervalle considéré et f égale à U sur V, donc elle est dérivable sur moins 1 plus l'infini et f' on a la formule qu'on connaît bien. On calcule f' et là on remarque qu'on ne développe jamais le dénominateur, il est positif et nous ce qui nous intéresse c'est le signe. On étudie toujours le signe uniquement du numérateur et là on remarque que le numérateur c'est G de X justement et donc on connaît le signe de G de X. On déduit le signe de f' de X, on remarque que f' est du même signe que G, ainsi c'est le signe de f', on a répondu à la question 3 sur le signe de G, ainsi f est décroissante sur moins 1 alpha et croissante sur alpha plus l'infini. Donc désire le signe de f' et les variations de f sur moins 1 plus l'infini. Voilà on a les variations de f et c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Variations et théorème des valeurs intermédiaires

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