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Continuité sur un segment

Dans cet exercice sur la continuité, nous prouvons que la fonction F est continue sur un segment AB et a un point fixe si elle est à valeur dans AB. En traçant un graph de F, nous montrons qu'il est impossible d'éviter la droite identité, donc F a un point fixe. Ensuite, nous posons la fonction G de X = F de X moins X pour ramener le problème en 0. Nous montrons que G est continue sur AB, et en utilisant le théorème des valences intermédiaires, nous prouvons que F de X = X a au moins une solution sur AB, donc F a au moins un point fixe.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour un exercice sur la continuité sur un segment de F. Ici on va prouver que F est continue sur un segment AB, à valeur dans AB, et si on a ces conditions, on va montrer que F a un point fixe. Donc ça vaut le coup de faire un petit schéma pour expliquer. Donc on va prendre les abscisses et les ordonnées, et donc F est continue sur AB, donc ici, et à valeur dans AB. Donc en fait, F, ce que ça veut dire, c'est que F va être dans ce carré ici, donc F va être compris entre A et B, voilà. Les valeurs de F vont être comprises entre A et B. Et on va montrer que F a un point fixe. F a un point fixe, ça veut aussi dire, donc F de X égale à X, donc ça veut dire que F de X croise la droite identité, donc que F de X moins X égale à 0, ok. Et en fait, maintenant on va tracer un peu des idées de F pour voir, est-ce qu'on peut éviter la droite. Le graph de F ici, si on essaye de l'éviter par en haut, forcément on va le toucher ici, parce que ici B est fermé, donc on va l'atteindre. A, pareil, là on va toucher là, et si on passe au milieu, évidemment. Et on peut même le toucher plusieurs fois, si on veut, voilà. Donc on va prouver l'existence de ce point fixe. Ok, maintenant, comme j'ai dit, avoir un point fixe, c'est aussi dire qu'on croise l'identité. Donc en fait, on va poser la fonction G de X égale à F de X moins X. Ça va permettre de ramener le problème en 0, donc le problème c'est de trouver, est-ce que la solution F de X égale à X a une solution. Et bien là, on va ramener le problème en 0, en essayant de prouver que l'équation G de X égale à 0 a-t-elle une solution. Donc comme F est continue sur A, B, G l'est aussi. Et on a que G de A c'est égal à F de A moins A, donc F de A moins A, F de A est forcément supérieur à A, parce que F est à valeur dans AB. Donc F est forcément ici supérieur à A, donc F de A est supérieur à A. Et pareil pour F de B, sauf que G de B est inférieur ou égal à 0, parce que F de B est forcément inférieur à B. Donc d'après le théorème des valences intermédiaires, on a deux valeurs de part et d'autre de 0, G de X égale à 0, admet au moins une solution sur AB, donc F de X égale à X, admet au moins une solution sur AB, et F a au moins un point fixe. C'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois!

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