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Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment démontrer que la somme pour k allant de p à n, de p parmi k, est égale au binôme de Newton, p plus 1 parmi n plus 1. Il utilise la méthode de la récurrence pour montrer que cette propriété est vraie pour tout n appartenant à n. Il utilise également le triangle de Pascal pour trouver des relations entre les différents binômes successifs. La clé de l'exercice est l'analyse avant, ce qui permet de déterminer une méthode claire pour résoudre l'exercice.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va sommer des binômes. Alors pour n et p des entiers naturels, avec n qui est supérieur à p, il faut démontrer que la somme pour k, attention aux indices, pour k allant de p à n, de p parmi k, c'est égal au binôme de Newton, p plus 1 parmi n plus 1. Alors, maintenant, quand on arrive sur ce genre d'exercice qui ne sont pas très guidés, il faut avoir une vraie même partie d'analyse qui est très importante, c'est aussi un moyen de montrer à l'examinateur que l'on sait raisonner. Alors ici, on demande de... c'est pas mal dénoncé à haute voix ce qu'on nous demande, il faut vérifier, on nous donne l'égalité, une relation qui dépend d'entiers. Alors là, une fois qu'on nous l'a dit, naturellement, la première méthode qui nous vient en tête, c'est la récurrence. Et donc, c'est parti pour faire une récurrence sur n. Alors, démontrons par récurrence que pour tout n appartenant à n, la propriété p de n est vraie, c'est-à-dire que pour tout p inférieur à n, la somme pour k allant de p à n, de p parmi k, est égale à p plus 1 parmi n plus 1. Ok. Ce qui est pratique avec la récurrence, c'est qu'on a une méthodologie toute trouvée, et qu'il n'y a plus qu'à être appliqué. Alors, à partir de là, on passe à l'initialisation, elle est toute simple. Pour n qui vaut 0, on a forcément du coup p qui est égale à 0. Donc, d'un côté, on a 0 parmi 0 qui est égale à 1, c'est le seul terme de la somme qu'on a. Et, on a de l'autre côté, eh bien 1 parmi 1 qui est égal à 1 aussi. Donc, p de 0 est vrai. Ok. Maintenant, passons à l'hérédité. L'hérédité, elle commence toujours par fixer n en étant un entier naturel. On suppose que la propriété au rang n est vraie, et on veut montrer cette propriété au rang n plus 1. Donc, on cherche à expliciter le maximum de choses qu'on souhaite démontrer. On souhaite arriver à cette égalité. Donc, n plus 2 factoriel, le tout divisé par p plus 1 factoriel fois n plus 1 moins p factoriel. Alors, c'est parti. Montrons cette égalité là, sachant qu'on va utiliser l'hypothèse de récurrence, bien sûr. Alors, pour p appartenant à n inférieur à n plus 1, eh bien, nous avons cette somme juste ici. Eh bien, on en connaît une grande partie, puisque la somme qui s'arrête à n, nous la connaissons de par la propriété pn qui est vraie. Donc, on extrait simplement le dernier terme, juste ici. Et puis, qu'est-ce qu'on obtient par hypothèse de récurrence? Eh bien, cette somme, juste ici, par hypothèse de récurrence, c'est bien p plus 1 parmi n plus 1. Donc, on se retrouve à sommer ces deux termes ici. Et là, on est un peu embêté, puisqu'on aimerait se ramener à cette expression juste ici, ou celle-là. Mais le plus, on a l'habitude de détailler les factoriels en mettant des produits dans tous les sens. Or là, c'est un plus, donc ça ne va pas bien s'arranger. Alors, si on analyse bien, ici, on est un rang avant n plus 2, ici aussi. Et là, p plus 1, on est bon ici, mais pas ici. Donc, ça nous met sur la piste, en fait, du triangle de Pascal, puisqu'il y a des relations entre les différents binômes de Newton, justement, successifs. Eh bien, en effet, si l'on regarde bien, pour des entiers donnés dans le triangle de Pascal, eh bien, si on pose n et n plus 1, et k et k plus 1, on a cette relation, voilà, quand on le calcule machinalement. Eh bien, si on l'écrit littéralement, ça nous donne k parmi n plus k plus 1 parmi n, qui est égal à k plus 1 parmi n plus 1, d'après le triangle de Pascal. C'est une formule classique à connaître. Donc, si on applique ici à cette formule-là, on doit rajouter 1 au-dessus, ça nous donne bien n plus 2, et rajouter 1 pour l'autre, ça nous donne bien p plus 1. Donc, l'hypothèse de récurrence a bien été... Pardon, pas l'hypothèse, la récurrence a bien été démontrée. P parmi n vrai implique... Pardon, c'est la propriété au rang n qui est vraie, eh bien, ça implique que la propriété au rang n plus 1 est vraie aussi. Et donc, à partir de là, nous avons bien montré l'hérédité. Donc, par principe de récurrence, pour tout n appartenant à n, pour tout p inférieur ou égal à n, eh bien, la somme pour k allant de p à n de p parmi k, c'est égal à p plus 1 parmi n plus 1. Donc voilà, on se rend compte qu'avec cette petite astuce, il ne faut pas hésiter à se ramener à des calculs que l'on fait plutôt intuitivement, avec ce triangle. On sait qu'il y a des relations entre les différents binômes successifs, donc il ne faut pas hésiter. À part, donc, la vraie clé de l'exercice, c'est bien sûr l'analyse avant, ne pas avoir peur de se confronter directement à une seule question, bien se poser, ok, qu'est-ce qu'on me demande? Et à partir de là, en général, on a une méthode qui nous apparaît claire, et on a juste à dérouler le schéma de résolution de l'exercice. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

Récurrence et coeff binomiaux

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