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Dans cette vidéo, Mathis de Studio démontre deux inégalités classiques pour n antinaturel non nul et deux suites de réels, a_i et b_i. Il montre que, pour la somme pour k allant de 1 à n des a_k b_k, la valeur absolue est inférieure ou égale à la somme pour k allant de 1 à n des valeurs absolues de a_k valeurs absolues b_k, ce qui est inférieur ou égal à la racine carrée de la somme pour k allant de 1 à n des a_k², multipliée par la racine carrée de la somme pour k allant de 1 à n des b_k². Il utilise un polynôme f(x) pour montrer que, dans les deux cas examinés, l'inégalité est vérifiée. En conclusion, la valeur absolue de la somme des a_k b_k est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de a_k valeurs absolues b_k, qui est inférieure ou égale à la racine carrée de la somme des a_k², multipliée par la racine carrée de la somme pour k allant de 1 à n des b_k².

Bonjour à tous, c'est Mathis de Studio. Dans cette vidéo, on va démontrer des inégalités classiques. Alors pour n à l'antinaturel non nul, et puis deux suites de réels, donc les a i et les b i, qui constituent donc deux n réels, il faut montrer que, alors là attention, chaque terme est important, alors la valeur absolue de la somme pour k allant de 1 à n des a k b k est inférieure ou égale à la somme pour k allant de 1 à n des valeurs absolues de a k valeures absolues b k, et ce terme est inférieur ou égal à la racine carré de la somme pour k allant de 1 à n des a k au carré, le tout fois la racine carré de la somme pour k allant de 1 à n des bk au carré. On pourra, on nous aide, on nous met sur la piste, d'un polynôme f de x qui est égal à la somme pour k allant de 1 à n des ak plus bk x, le tout au carré. Alors, effectivement, ça constitue en fait les deux inégalités quasiment dans les plus classiques, comme on a à savoir démontré en prépa, ici c'est pour des réels, mais on aura tout à fait le cas, et c'est même d'ailleurs plus simple de les montrer pour des vecteurs, n'importe quel type de vecteur, plutôt en seconde année. Mais là ici, on va le faire avec nos outils, et puis pour des réels. Donc, la première inégalité, si on la regarde bien, et bien en fait, à chaque fois, c'est une somme, on demande la valeur absolue de la somme, et bien là ça va tilter dans nos têtes, c'est bien sûr inférieur ou égal à la somme des valeurs absolues, et après on distribue le produit, puisque ça constitue la première inégalité triangulaire. Donc, on a déjà démontré une partie de l'équation, et la deuxième, c'est un raisonnement très très particulier, donc il faut bien le retenir, et à partir de là, ça s'appréhende de manière plutôt simple, mais c'est vraiment pas naturel, donc ouvrez bien vos oreilles. On doit montrer cette inégalité juste ici. Ok. Alors, vu qu'on nous met sur la piste de ce polynôme, et bien on va chercher à développer. En effet, on a une somme d'un terme au carré, c'est pas quelque chose de naturellement accessible, donc on développe. C'est la somme pour k allant de 1 à n des ak² plus 2ak bkx plus bk² x², et ça y est, on peut séparer la somme. Et en séparant la somme, on fait apparaître des termes qui nous intéressent beaucoup. On a ici la somme des bk² qui intervient ici, la somme des ak² qui intervient ici, et puis la somme des ak bk. On se doute qu'on va intervenir plutôt de ce côté-là. Et bien, si on regarde précisément, donc là c'est un peu de la souplesse mathématique qu'il faut avoir, se détacher d'un raisonnement qu'on avait au préalable, et on considère simplement ce polynôme. Et oui, c'est un polynôme en x. Donc on regarde les coefficients de ce polynôme, juste ici, et qu'est-ce qu'on peut en dire? Et bien, ce polynôme en x, c'est une somme de carré. Donc on sait que cette somme est toujours positive au nul. Et un polynôme qui est toujours positif au nul, et bien ça nous donne des informations sur son discriminant. Son discriminant va en effet être négatif ou nul. Et bien, tout d'abord, ça c'est le cas pour un polynôme du second degré. Or on n'est pas sûr qu'il soit du second degré, ici, puisque ce terme-là peut être nul. Donc évaluons ce petit cas précis, mais qui est important quand même. On ne peut pas parler de discriminant, ça n'a pas de sens, si ce n'est pas un polynôme du second degré. Donc ici, premier cas, le cas très particulier où la somme du bk² est égale à 0. Or, comme on a dit, elle est différente de 0, pardon. Donc on se place dans le cas où c'est un polynôme du second degré. Comme le polynôme est positif, et bien f de x est un polynôme du second degré de signe constant, donc le discriminant de ce polynôme est négatif ou nul. Or, calculons-le, le discriminant, c'est ce terme au carré, donc 4 fois la somme de ak bk, le tout au carré, moins 4 fois la somme de bk² fois la somme de ak². Donc ça, c'est négatif ou nul. Donc au final, on obtient effectivement l'expression que l'on souhaite, en prenant la racine carrée, bien sûr. Donc à partir de là, on a montré dans le cas où la somme de bk² était différente de 0, que l'égalité, enfin que l'inégalité, pardon, était vérifiée. On n'a plus qu'à le montrer pour l'autre. Alors, dans le cas où, très précis, où c'est égal à 0, et bien une somme de carré qui est nulle, pardon, j'en prends, c'est une somme de nombre positive qui est nulle, et bien ça veut dire, c'est un petit généostique à avoir, ça veut dire que tous les termes sont nuls. En effet, s'il y avait un terme qui n'était pas nul, bien on devrait le compenser pour finalement arriver à 0 par un nombre négatif. Alors c'est pas le cas, ils sont tous positifs car ce sont des carrés, c'est-à-dire qu'ils sont tous nuls, et donc que les bk sont nuls. Donc au final, si tous les bk sont nuls, et bien cette somme est égale à 0, et donc elle est forcément inférieure ou égale à la somme des racines carrées, qui elle-même d'ailleurs vaut 0. Donc conclusion, dans les deux cas que l'on a examinés, qui amènent d'ailleurs à des outils différents de résolution, et bien dans tous les cas, on a la somme des modules ak, bk, qui est inférieure ou égale à la racine carrée de la somme des carrés, fois des ak carrés, pardon, fois la racine carrée de la somme des bk carrés. C'est bon, nous avons montré l'inégalité, la seconde inégalité que l'on souhaitait démontrer. Et donc par synthèse de l'exercice, pour toutes l'antinaturel non nulle et a, i, b, i des suites de réels appartenant à R, et bien la valeur absolue de la somme des ak, bk est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues des ak, bk, qui est inférieure ou égale à la racine carrée de la somme des ak carrés, fois la racine carrée de la somme des bk carrés. Donc voilà, comme je vous l'ai dit, c'est une résolution très classique à maîtriser, qui n'est pas du tout naturelle, mais un raisonnement plutôt satisfaisant à mener. Je vous invite à le refaire de votre côté sur une feuille blanche, comme ça on sait bien si on maîtrise la notion. D'ici là, je vous dis merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis à bientôt!

Inégalité de Cauchy Schwarz

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