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Dans cette vidéo, Mathis de Studio enseigne comment calculer des sommes doubles. Pour toute somme double, la méthode consiste à la dédoubler en deux sommes simples, c’est-à-dire à fixer un des deux indices pour permettre de calculer la somme sur un seul indice au lieu de deux. Pour la première somme donnée, il s’agit de la somme pour i et j de 1 à n de i + j au carré. En dédoublant cette somme, on obtient deux sommes simples, la première pour i allant de 1 à n des sommes pour j allant de 1 à n de 1 + j au carré, et la deuxième pour j allant de 1 à n des sommes pour i allant de 1 à n de 1 + i au carré. En utilisant les formules classiques de somme des carrés et de somme des entiers, on obtient que la somme initiale est égale à n*(n+1)*(7n+5)/6. Pour la deuxième somme donnée, il s’agit de la somme pour i plus grand que i mais plus petit que j strictement, et j qui est plus petit que n, des i fois j. En fixant j et en utilisant une formule classique, on obtient que cette somme est égale à n*(n+1)*(3n²-n-2)/24.Pour la troisième somme donnée, il s’agit de la somme pour i et j de 1 à n du minimum de i et j. En séparant cette somme en deux sommes, une pour laquelle j est plus grand que i et l’autre pour laquelle j est plus petit que i, on obtient que cette somme est égale à n*(n+1)*(2n+1)/6.Enfin, pour la quatrième somme donnée, il s’agit de la somme pour i plus grand que 1, plus petit que j, plus petit que n, des i divises par j. En sortant j en premier, on peut obtenir que cette somme est égale à n*(n+3)/4.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va calculer des sommes doubles. On demande de calculer les sommes suivantes. La somme tout d'abord, alors comment ça se lit? C'est la somme de i et j, alors de 1 à n, d, 1 plus j, le tout au carré. Alors, on sort de nos méthodes basiques comme ça, qu'est-ce qu'on a en stock? On connaît la somme des 1, la somme des i, la somme des i carrés, la somme des i cubes, même sur le bout des doigts. Mais voilà, là on a deux indices, donc on ne sait pas tellement à quoi ça correspond, on ne sait pas la calculer. Donc, pour toute somme double, l'astuce ça va être de dédoubler la somme. C'est le mot de vocabulaire qu'il faut placer en col ou en ds. Pour calculer cette somme, nous allons la dédoubler. Alors, ça correspond à quoi? Ça correspond en fait à fixer un des deux indices pour permettre de calculer la somme sur un seul indice au lieu de deux. Alors, comment ça se fait en pratique? Eh bien, ici i et j jouent des rôles, il faut analyser, ici ça joue des rôles symétriques, donc ça n'a pas d'importance par lequel on commence. Donc, en fait, on va dédoubler la somme, c'est-à-dire qu'on va transformer cette somme double en deux sommes simples. C'est même une somme de sommes. C'est-à-dire que la somme double, en fait, c'est égal à quoi? C'est égal à la somme pour i allant de 1 à n des sommes pour j allant de 1 à n de 1 plus j, le tout au carré. Et là, en fait, on va simplement calculer cette somme-là, qui est une somme qui n'a qu'un seul indice. Donc, si on regarde le thème dans la parenthèse, on a la somme pour j égale 1 à n, on développe, ça nous donne du i carré plus 2ij plus j carré, et donc c'est égal à la somme des i carré plus la somme des 2ij plus la somme des j carré. Mais attention, l'indice est bien j ici, à chaque fois. Donc, si on regarde tout d'abord cette somme, et bien i, ça ne dépend pas de j, donc on peut le sortir de la somme, ça nous donne i carré fois la somme pour j allant de 1 à n des 1. Ici de même, on peut sortir de i, car ça ne dépend pas de j, on se retrouve avec la somme des j. Et ici, c'est tout simplement la somme des j carré. Et hop, c'est les formules classiques que l'on connaît. Donc, au final, ça nous donne i carré fois le nombre de termes, donc n moins 1 plus 1, ça nous donne bien n, plus, alors la somme, 2 fois la somme des j, ça nous donne bien n, n plus 1, d'après les indices juste ici, et puis la somme des j carré, c'est n, n plus 1, 2n plus 1, le tout divisé par 6. Voilà. Alors, on reprend le raisonnement, on avait calculé cette somme à l'intérieur, donc maintenant on n'a plus qu'à calculer la somme pour i allant de 1 à n de ce terme, et là, de même, on retrouve des termes qui dépendent de i et d'autres non, donc on peut les extraire de la somme, et en développant, on tombe sur n fois la somme des i carré, donc ce terme juste ici, n, n plus 1 fois la somme des i, donc ça nous donne n carré, n plus 1 carré divisé par 2, plus, eh bien ici, on a tout simplement la somme pour i allant de 1 à n d'un terme constant, donc c'est n fois ce terme, soit n carré, n plus 1, 2n plus 1 divisé par 6. Et ça tombe bien, vu qu'on a un truc plutôt symétrique de ce côté-là et de ce côté-ci, on essaie de raisonner sur l'exercice, ça tombe bien effectivement sur la symétrie des rôles de i et j. Donc au final, en mettant tout sur le même dénominateur, la somme pour i et j allant de 1 à n de i plus j au carré, c'est égal à n carré, n plus 1, 7n plus 5, le tout divisé par 6. Voilà, donc maintenant qu'on a la méthode, on va continuer. Alors maintenant, pour i plus grand que i mais plus petit que j strictement, et j qui est plus petit que n, des i fois j. Alors là, les rôles ne sont pas symétriques dans les indices. Alors, ce qu'on va faire, comme c'est pas... En fait, la méthode classique, c'est de fixer, on l'a dit, un des indices. Alors, on regarde, parfois c'est plus avantageux de fixer l'un ou l'autre, si on n'a pas trop d'idées, donc on en fixerait et on regarde ce que ça donne. Alors, si on commence par fixer j. Alors j, le raisonnement qu'il faut avoir, c'est il peut se balader entre quoi et quoi. Entre quelle et quelle valeur maximale et minimale. Eh bien, j, il est coincé entre... Eh bien, i pour l'instant n'existe pas, donc on regarde simplement le supérieur strictement à 1. Donc il commence à 2. J commence à 2, donc c'est la somme pour j égale 2 à quoi? Eh bien, il peut aller jusqu'à n. Donc, on reprend, c'est la somme pour j allant de 2 à n. De la somme sur l'autre indice, alors l'autre indice, maintenant que j est fixé, c'est ça qui est important, c'est maintenant que j est fixé, i, il peut aller entre quelle et quelle valeur? Eh bien, entre 1 et puis strictement inférieur à j, qui maintenant est fixé, donc existe. Donc c'est bien j moins 1. Voilà, c'est une manipulation très classique sur les indices qu'il faut connaître. Alors, à partir du moment où, si on fixe le premier, eh bien, il n'y a pas... On regarde simplement les valeurs minimale et extrémale... Minimale et maximale, pardon. Et puis, l'autre indice n'intervient pas, mais maintenant qu'il est fixé, pour l'autre, eh bien, les bornes vont interférer. Donc, à ce moment-là, c'est reparti pour la méthode classique. On va calculer cette somme-là. Donc, elle dépend de i, attention à ne pas se tromper. On peut sortir le j devant, et ça nous donne donc, attention, puisque ça va jusqu'à j moins 1, la somme pour j allant de 2 à n, de j fois j moins 1, j, le tout divisé par 2. Alors, ça nous donne 1 demi fois la somme pour j allant de 2 à n, de j cube moins j carré. Ok, là, on se dit, cool, c'est des sommes qu'on connaît. Or, attention, les sommes classiques, elles commencent pour j allant de... commençant à 1. Donc, on aimerait bien se ramener à cette somme qui commence à 1. Or, si on regarde ce terme-là pour j qui fait 1, eh bien, c'est 0, c'est 1 moins 1. Donc, on peut l'ajouter artificiellement, et c'est pourquoi c'est exactement égal à la somme... 1 demi fois la somme pour j allant de 1 à n, de j cube moins j carré. Ok. Et donc, là, on retombe sur les sommes classiques, on met tout sur le même dénominateur, et au final, la somme pour i allant de 1, exactement inférieur à j, qui est inférieur ou égal à n, d i fois j, c'est égal à n n plus 1, 3 n carrés moins n, moins 2, le tout divisé par 24. Ok. Alors, la troisième somme que nous avons à calculer. Celle-là, elle est un peu plus tendue, on n'aime pas manipuler ce genre d'outil, c'est le minimum. Et donc, c'est la somme pour i et j entre 1 et n du minimum de i, j. Eh bien, en fait, on va procéder de la même manière, on dédouble la somme, et donc on fixe, en remettant, voilà, i allant de 1 à n, de la somme pour j allant de 1 à n, des minimums de i, j. Alors là, il faut bien se rendre compte, on a du mal à évaluer ce que c'est le minimum de i, j. Alors, si on considère cette somme-là, eh bien i, il est fixé. C'est très important de retenir ça. Dans la deuxième somme, i est fixé. Donc, on demande de comparer j à un nombre fixé. Donc, tout dépend s'il est plus ou moins grand. Donc, à ce moment-là, on va séparer en deux sommes, la somme pour laquelle j est plus grand que i, et la somme pour laquelle j est plus petit. Donc, c'est égal à la somme pour j égal 1 à i du minimum de i, j. Donc, quand j est entre 1 et i, eh bien le minimum, c'est j. Plus la somme pour j allant de i plus 1 à n du minimum. Eh bien, lorsque j est entre 1 plus... i plus 1, pardon, et n, le minimum, c'est i. Donc, finalement, c'est égal à la somme des j, attention qu'il va jusqu'à i, plus la somme d'un terme constant, n moins 1, moins i plus 1 fois. Donc, on obtient cette expression-là. Et au final, on a juste à reprendre le calcul, à sommer pour i allant de 1 à n de ce terme juste ici. Et au final, nous obtenons, après simplification, la somme pour i et j allant de 1 à n du minimum de i, j, c'est égal à nn plus 1, 2n plus 1, divisé par 6. Ça nous rappelle, une formule célèbre, c'est la somme des carrés, pour un seul ordi, attention. Et finalement, la dernière somme que nous avons évaluée, c'est la somme pour i plus grand que 1, plus petit que j, plus petit que n, des i, nous le diviser par j. OK. Alors là, vous vous demandez par lequel on commence. Eh bien, si on commence par fixer le i et qu'on le sort, on se retrouve avec la somme des 1 sur j, vous ne le connaissez pas. Ce n'est pas une somme de référence. Donc, le mieux à faire, c'est de sortir tout d'abord j. Donc, si on sort j en premier, ça nous donne bien la somme pour j allant de 1 à n des 1 sur j, fois la somme, attention maintenant, j est fixé, donc i ne peut plus se balader qu'entre 1 et j, donc la somme pour i allant de 1 à j des i. Alors là, c'est une somme des i, donc c'est j, j plus 1, divisé par 2. En prenant en compte le facteur 1 sur j, on tombe sur la somme pour j allant de 1 à n des j plus 1 divisé par 2. Ça nous donne ln plus 1 divisé par 4 plus n divisé par 2. Et finalement, cette somme est égale à n, n plus 3 divisé par 4. Voilà, c'est notre première approche des sommes doubles, donc une méthode très classique qu'il faut retenir. C'est quand même assez machinal et un exercice plutôt plaisant et c'est de commencer à sentir quels indices on doit fixer pour nous permettre de nous arranger, de nous ramener aux sommes de référence. À partir de là, on peut calculer de nombreuses sommes doubles. Voilà, merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt!

Sommes doubles

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