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Physique-Chimie

Physique

Cinématique du point

Le sujet de cet exercice de cinématique est la loi horaire. Un conducteur roule à une vitesse constante sur une route rectiligne. Un gendarme qui démarre à l'instant où la voiture passe à sa hauteur accélère uniformément. Les lois horaires sont utilisées pour déterminer le temps nécessaire au gendarme pour rattraper la voiture, la distance parcourue et la vitesse atteinte. Pour le conducteur, la vitesse est constante à 100 km/h, donc sa position est donnée par Xc(t) = V0t. Pour le gendarme, son accélération est constante A0, donc sa vitesse est donnée par Vg(t) = A0t et sa position est calculée par Xg(t) = 0.5*A0t². En utilisant ces lois horaires, on peut déterminer que le gendarme rattrape la voiture en 22 secondes, parcourt une distance de 617 mètres et atteint une vitesse de 55,5 m/s.

Salut à tous, c'est Leïla pour Cidéo. Aujourd'hui on va faire un exercice de cinématique. L'exercice qu'on va faire est un exercice assez classique sur les lois horaires, les histoires de vitesse, d'accélération, etc. L'idée c'est qu'on a un conducteur qui roule à une vitesse constante sur une route qui est rectiligne. Là on ne s'intéresse vraiment pas aux histoires de géométrie, de virage, etc. C'est juste une question de vitesse et d'accélération. Il a un excès de vitesse à 100 km par heure. Il y a un gendarme qui démarre à l'instant où la voiture passe à sa hauteur et il accélère uniformément. Ça veut dire quoi? Ça veut dire que son accélération est constante. Et donc le gendarme atteint la vitesse de 90 km par heure au bout de 10 secondes. La question qu'on se pose dans ce cas-là c'est quel est le temps nécessaire au motard pour rattraper la voiture? Ensuite on vous demande la distance qu'il aura parcourue, la vitesse qu'il aura atteinte. En fait vous voyez, tout ça va être lié assez facilement. La grosse question c'est comment est-ce qu'on fait ça? C'est une question assez ouverte. Donc il faut commencer à poser un peu le cadre. Le cadre c'est évidemment un cadre d'espace et un cadre temporel. Donc l'idée c'est qu'on va dire que le gendarme il part au point 0, X. On a uniquement besoin d'une seule dimension donc on va prendre X. Pourquoi ? Parce que tout simplement là on est en rectiligne. Donc on choisit, on l'appelle comme on veut, il ne va pas y avoir de mouvement selon d'autres directions. Donc à t égale 0, le gendarme part et il est également à X égale 0. Donc on a deux choses à déterminer, c'est ce qu'on appelle les lois horaires. C'est comment est-ce que chacun va bouger par rapport au temps? Tout d'abord pour le conducteur c'est le plus simple. J'ai appelé sa vitesse Vc qui dépend de t. En fait elle est constante à V0. V0 c'est quoi? C'est 100 km par heure. Donc pour connaître sa position c'est assez simple, ça va être V0 t plus une constante. Mais en fait on s'en fiche de cette constante, on peut la prendre égale à 0 parce qu'au moment du départ du gendarme, on voit bien que le conducteur il est également à X égale 0. Donc la constante est nulle. Donc ça fait Xc de t qui est égal à V0 t. Pour le gendarme c'est un peu plus compliqué, pourquoi? Parce qu'on nous dit que ce n'est pas sa vitesse qui est constante mais c'est son accélération. Donc ça, ça veut dire qu'en fait on ne connaît pas spécialement sa vitesse à la base, donc on va juste postuler que son accélération est constante, égale à 0. Pour intégrer, je passe à la vitesse que j'intègre, donc la vitesse du gendarme que j'ai noté Vg c'est A0 t plus une constante. A t égale 0, le gendarme il est à l'arrêt, donc sa vitesse est nulle et donc la constante est nulle également ici. Donc ça me donne quoi? Ça me donne que Vg de t c'est A0 t. Maintenant j'intègre encore une fois pour trouver sa position. Sa position c'est Xg de t qui est 1 demi de At carré, j'ai intégré et encore une fois. En théorie ici il y a une constante mais qu'est-ce qui se passe? Mon gendarme il part au point X égale 0 à t égale 0, donc cette constante est nulle. Nous ce qu'on connaît en fait, on connaît V0 donc il n'y a pas de problème. En fait le conducteur je sais exactement à quel endroit il est, à quel instant. Par contre pour mon gendarme, vous voyez ce qu'on nous donne dans l'énoncé, on nous donne la vitesse au bout de 10 secondes mais on ne nous donne pas cette accélération qui apparaît pourtant dans la formule ici. Donc il faut qu'on la trouve. Et donc pour le gendarme, le plus simple en fait c'est d'utiliser le fait que A0 c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, donc là je fais une moyenne et ça me donne delta V sur delta t ce qui fait 90 km par heure sur 10 secondes. Là il faut bien faire attention à convertir les kilomètres par heure en mètres par seconde, c'est un truc que vous oubliez très souvent et c'est dommage parce que ça vous fait perdre des points. Alors on va le refaire une fois ensemble, 1 km c'est 1000 mètres, 1 heure c'est à peu près 3... enfin c'est à peu près c'est pile 3600 secondes, donc 1 km par heure c'est 1000 sur 3600 mètres par seconde, donc j'ai 3,6 km par heure qui sont égales à 1 mètre par seconde. Ça veut dire quoi? Ça veut dire qu'en fait il y a plus entre guillemets de km par heure que de mètres par seconde. Alors pourquoi cette conversion? Vous vous trompez souvent, vous ne savez jamais s'il faut diviser par 3,6 ou fois 3,6 parce qu'en fait vous voyez qu'on est sur des heures de grandeur assez proches en fait, on a du mal à... on est sur le même ordre de grandeur donc c'est pas évident en fait est-ce que c'est le km par heure ou le mètre par seconde qui est plus gros. Et on a un facteur 3,6 qui est pas énorme. Donc rappelez-vous bien, quand je veux passer des mètres par seconde au km par heure, je multiplie par 3,6 et sinon je divise. Moi là ce que je veux faire c'est l'inverse, j'ai des km par heure, là j'ai 90 km par heure, je veux tout mettre en mètre par seconde. Pourquoi? Parce que c'est les unités du système international. Donc dans ce cas là, je vais diviser par 3,6 et c'est ce que j'ai fait ici. Et donc j'obtiens l'expression de A0 qui est de 2,5 mètres par seconde moins 2. Et c'est pas fini. Moi ce que je veux savoir finalement c'est quand est-ce que le gendarme il rattrape ma voiture? Et quand est-ce qu'ils sont rattrapés? C'est quand leurs positions sont les mêmes. Donc à un instant t1, qui est l'instant auquel le gendarme a rattrapé la voiture, en théorie j'ai la position du conducteur qui est égale à la position du gendarme. Donc j'ai juste à égaler ces expressions là. Donc je réinjecte les expressions qu'on vient de trouver et ça me donne que t1 c'est 2V0 sur A0 et j'ai exprimé A0 également. Et donc on trouve t1 est égale à 22 secondes. Vous voyez que c'est pas beaucoup, ça nous paraît assez naturel, il va pas le rattraper au bout de super longtemps. Pourquoi en fait? Parce qu'il a accélération constante. Vous voyez même s'il atteint 90 km au bout d'un moment, son accélération est constante donc en fait il va aller plus vite à un moment que le conducteur et il va finir par le dépasser. En l'occurrence il va certainement s'arrêter auprès de lui. Alors ensuite on nous demande quelle distance aura-t-il parcouru. Ben la voilà, maintenant qu'on a le temps, on peut repasser à la distance en faisant le raisonnement inverse. Ici la distance qui est parcourue c'est xc qui est égale à xg donc la plus simple à prendre, on peut prendre les deux, moi j'ai pris la moins simple c'est ½ de A0 t1². Et du coup la distance parcourue elle est de 617 m. Et enfin on nous demande la vitesse qui est atteinte. Alors même chose, comme on sait à quel instant le gendarme rattrape le conducteur et qu'on a en plus toutes les lois horaires, pour la vitesse atteinte il suffit d'utiliser cette expression là. Et donc en l'occurrence ça nous donne une vitesse A0 t1 qui est de 55,5 mètre par seconde. Donc là j'ai les 100 mètre par seconde, c'est vrai que c'était pas très pertinent. En fait le plus intéressant c'est de passer au kilomètre heure, on voit qu'on multiplie par plus de 3 donc on va dépasser 150 km heure. Donc le gendarme est aussi en accès de vitesse. Mais ce qui est intéressant c'est de remarquer que ces 150 km heure sont supérieurs aux 100 km heure de la voiture. C'est normal, comme elle a pris de l'avance il faut forcément qu'à un moment il aille plus vite que lui s'il veut espérer le dépasser. Donc voilà pour ça, c'est un exercice très classique qui permet de manipuler ses lois horaires. Le plus important c'est de bien comprendre la modélisation, de bien faire le modèle qui correspond à ce qu'on veut observer et ensuite il n'y a plus qu'à dérouler les calculs. J'espère que cet exercice vous aura été utile, n'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

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