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Physique-Chimie

Physique

Cinématique du point

Dans cet exercice, nous modélisons un ballon sonde par un point matériel avec pour coordonnées x de t et z de t. Le ballon est lâché depuis le point 0 à l'instant t=0 et a une vitesse verticale constante de v0 tout au long de son mouvement. En plus, une vitesse horizontale vx, positive et proportionnelle à son altitude, est transmise par le vent. Z de t vérifie une équation différentielle simple, z point est égale à v0. Nous résolvons cette équation différentielle pour obtenir z de t égal à v0 t. Nous obtenons l'expression de vx en fonction de z qui nous permet d'calculer x de t. Ensuite, nous obtenons l'équation de la trajectoire du ballon, z en fonction de x, qui est en forme de racine. Nous suggérons de tracer les z points de la courbe et d'interpréter les informations sur la vitesse et l'accélération. L'accélération est nulle selon z et v0 sur taux selon x. N'oubliez pas de bien faire attention à l'orientation des vecteurs.

Salut à tous, c'est Layla pour Sudéo. Aujourd'hui on va faire un exercice sur le ballon sonde. Donc l'exercice qu'on va faire c'est un exercice de cinématique du point. L'idée c'est qu'on modélise un ballon sonde par un point matériel qui a pour coordonnées x de t et z de t. Il est lâché depuis le point 0 à l'instant t égale 0 et il a presque instantanément une vitesse verticale qui est v0 qui va être constante tout au long du mouvement. Ensuite le vent lui communique une vitesse horizontale vx qui est positive, qui est selon plus ce x et qui est proportionnelle à son altitude. Donc on nous donne son expression vx c'est z sur tau et tau c'est homogène à un temps. Vous voyez juste une analyse de dimension pourrait nous montrer ça. Alors la première chose c'est d'écrire et de résoudre l'équation différentielle qui est vérifiée par z de t. Alors allons-y. Nous ce qu'on nous dit qui est intéressant c'est que la vitesse verticale est constante. Donc ce que je sais c'est que z point est égale à v0. Donc en fait c'est ça notre équation différentielle. Alors souvent vous êtes surpris, vous dites mais non elle est beaucoup trop simple etc. A partir du moment où j'ai une dérivée qui apparaît c'est une équation différentielle. Donc c'est ça en fait notre équation différentielle pour la vitesse verticale. Donc si j'intègre ça me donne que z de t c'est v0 t plus une constante. Et donc pour ça je regarde où est-ce que je suis, je vois à z égale 0. Moi mon ballon il est lâché de ce point là. Donc j'ai à t égale 0, pardon, j'ai z qui est égale à 0 donc la constante est nulle et ça me donne z de t est égale à v0 t. Là j'ai résolu cette équation différentielle qui était en fait pas très corsée puisque j'avais juste une intégration à faire. Mais c'est quand même une équation différentielle. Alors ensuite selon x on demande de faire la même chose sur x de t et d'exprimer en fonction de v0 et de taux. Donc vx c'est x point et nous on nous la donne en fait vx vous vous souvenez on nous dit que c'est z sur taux. Et donc si c'est z sur taux, moi je l'ai en fait l'expression de z, on vient de la déterminer dans la question d'avant et donc ça me fait v0 t sur taux. Finalement si je mets tout ça l'un dans l'autre ça me fait que x de t c'est 1 sur 2 taux v0 t carrés plus une constante qui est la constante d'intégration et là encore une fois à t égale 0 je suis à la position 0 0 donc la constante est nulle. Ensuite on nous demande l'équation z de x de la trajectoire du balançon. Alors lorsqu'on vous demande les équations de trajectoire, déjà il faut bien faire la différence avec les équations qu'on a pour le moment. Là ce qu'on a c'est des équations horaires, le temps, vous voyez il intervient dans les deux. L'équation de la trajectoire c'est ce qui se passe si jamais je m'en fiche un peu du temps, je veux juste regarder le mouvement que ça fait peu importe à quelle vitesse on a parcouru la courbe de mouvement. Donc le but c'est toujours le même je veux éliminer t au profit de x et évidemment de z. La meilleure manière pour faire ça c'est d'isoler, de commencer par isoler le temps. Donc ici ce que j'ai fait c'est que j'ai pris l'expression d'au dessus donc j'ai exprimé t² ce qui m'a permis d'exprimer t. Alors évidemment les solutions comme on prend la racine normalement c'est plus ou moins cette expression là mais évidemment le temps c'est une notion qui est positive. Si je prends l'origine des temps à l'instant où je lâche le ballon donc il va être positif tout au long de mon mouvement. Donc ensuite je ne jette rien dans l'expression de z, maintenant que j'ai t, vous voyez je vais pouvoir l'exprimer en fonction de x et donc ça me donne z de x qui est égal à racine de 2 taux 0x. On demande de tracer ça, c'est une fonction racine. Ce qui est important lorsqu'on vous demande de faire des tracés en physique, évidemment on s'en fiche un peu de est-ce que vous êtes arrivé au bon point etc il faut que l'allure de la courbe soit la bonne. Pour ça c'est quand même bien de placer les dérivés, notamment les tangentes à l'origine. La fonction racine on sait qu'il a une tangente verticale à l'origine puisque sa dérivée n'est pas définie. Ça c'est quelque chose d'important. Ensuite ce que je vous conseille de faire c'est de tracer les z points. Vous voyez z point est constant donc ça veut dire quoi? C'est dire qu'en fait la partie verticale de la vitesse va toujours être constante. Donc tracez ça à quelques points sur la courbe et ce que vous voyez également c'est que la vitesse horizontale elle augmente avec le temps. Donc c'est pour ça qu'en fait notre v il est de plus en plus long selon la direction x mais garde la même hauteur. Donc ça c'est des choses assez riches en fait en interprétation de courbe. Dans cet exercice on nous donne pas mal d'informations sur les vitesses donc les tangentes etc à cette courbe. C'est important de les faire figurer si vous avez bien compris ce que c'est. Ça rendra votre courbe beaucoup plus compréhensible et beaucoup plus intéressante. Là vous voyez si j'enlève tout ça finalement j'ai juste une courbe de racine on sait que vous savez faire ça. Ce qu'il faut c'est vraiment interpréter, regarder ce qu'il y a en plus de la courbe. Et enfin au moment de l'accélération, donc l'accélération c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Donc qu'est ce que c'est ma vitesse? Ma vitesse est v0 et v0t sur taux et donc ça me donne une accélération de 0 et de v0 sur taux. Donc l'accélération est uniquement selon x, c'est logique parce que vous voyez que la vitesse elle est constante selon z donc ça me donne 0 et v0 sur taux. Alors là c'est un peu bizarre en fait ce que j'ai fait, je suis en train de me rendre compte, c'est que ça c'est ce qui se passe selon z et ça c'est ce qui se passe selon x. Normalement on mettrait l'opposé, bref faut faire attention à ça au sens de mon vecteur. Mais sinon c'est ça, le plus important à retenir c'est qu'accélération est uniquement selon x, ce qui est logique comme la vitesse elle est constante selon z. J'espère que ça vous aura été utile, n'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

Ballon Sonde

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