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Physique-Chimie

Physique

Cinématique du point

Dans cet exercice de physique sur la cinématique, un véhicule suit une trajectoire sinusoidale entre des cheminées d'une usine. La vitesse du véhicule est constante selon x et il met 12 secondes pour revenir sur l'axe après la sixième cheminée. L'amplitude de la sinusoïde doit être déterminée pour que l'accélération reste inférieure à 10G en valeur absolue. Pour modéliser le mouvement sinusoidal, l'utilisation d'un sinus ou d'un cosinus est avantageuse en fonction du point de départ. La période du sinus est de 2 pi et la hauteur est donnée par la formule Y0 sinus de pi X sur L. En isolant le temps dans l'équation de trajectoire et en dérivant une fois et deux fois, l'accélération selon y peut être calculée. Pour limiter l'accélération en dessous de 10G, l'amplitude de la sinusoïde doit être inférieure à 40 mètres. L'exercice montre également comment convertir les mètres par seconde en kilomètres par heure.

Salut à tous, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui on va faire un exercice de cinématique. Donc c'est un exercice avec un contexte de guerre des étoiles, donc c'est juste pour le contexte, sinon on va quand même faire de la physique. L'idée c'est qu'il y a une course poursuite entre les cheminées d'une usine et on suppose que le véhicule suit une trajectoire sinusoidale de slalom entre les cheminées, donc c'est ce qu'on vous a mis ici sur le graphique. Il part de ce point là et on voit un slalom qui est avec une courbe sinusoidale. On nous pose des questions sur la nature du mouvement. Tout d'abord le véhicule concerne une vitesse constante selon EX et il met 12 secondes pour revenir sur l'axe après la sixième cheminée, c'est à dire qu'il fait ça, hop, quand il revient sur l'axe c'est le moment où il est ici. Il fait ça autour de 6 cheminées. Donc on nous demande d'en déduire la vitesse V0, de faire l'application numérique. Or là, ce qui est difficile dans cet exercice c'est de modéliser. C'est souvent le cas dans les questions de cinématiques, c'est de dire ok, qu'est-ce que je sais, comment je pars. Là la première chose importante c'est de savoir qu'est-ce que c'est ce mouvement sinusoidal, comment est-ce que je peux le modéliser. Donc comment est-ce qu'on modélise un mouvement sinusoidal? Par un sinus. Alors faites attention parce que parfois ça peut être plus avantageux d'utiliser le cosinus. Pourquoi ici le sinus est intéressant? Parce que je pars de zéro et je sais que le sinus s'annule en zéro. Si je partais d'ici par exemple, là ça pourrait être plus intéressant d'utiliser un cosinus. De toute façon je peux passer de l'un à l'autre donc il n'y a pas de réponse fausse en fait. Que vous mettiez un cosinus ou un sinus, ça ne va pas vous donner la même chose à l'intérieur mais il n'y a pas de réponse fausse. Les deux vont être des mouvements sinusoidaux. Donc allons-y. Ici en fait Y c'est Y0, la hauteur, l'amplitude, sinus de pi X sur L. Donc là pourquoi est-ce que je mets du pi X sur L? L'idée c'est que quand X égale L, la longueur entre les cheminées, donc il y a aussi cette longueur là, moi j'ai avancé en fait de 2 pi. Mais pourquoi? Parce que la période c'est 2 pi. Donc même chose si je fais toute ma période, que je suis comme ça, là j'ai avancé de 2 L. Et donc là ça colle bien. Il faut faire le lien entre la période du sinus qui est 2 pi, ou la demi-période qui est pi, et qu'est-ce qui se passe pour votre mouvement. Voilà ce que ça donne en termes de trigo. Donc là vous voyez quand je suis à pi sur 2, je suis à L sur 2. Donc j'ai bien mon sinus qui est maximal, j'atteins le point maximal au-dessus de la cheminée, etc. Donc vérifiez bien en fait, si vous les tâtonnez un peu c'est pas trop grave, il faut juste vérifier que ça colle bien avec le mouvement qu'on vous décrit après. Donc qu'est-ce qui se passe pour nous? En fait c'est le truc le plus difficile de cet exercice, c'est vraiment de modéliser ce sinus. Après une fois que j'ai l'expression et qu'elle est bonne, j'ai juste à interpréter, faire les lois horaires, etc. Donc qu'est-ce que ça veut dire revenir sur l'axe après la 6e cheminée? Ça veut dire quoi? Ça veut dire que x en fait il vaut 6L. Vous voyez là j'ai un L, deux L, etc. Donc on voit naturellement que quand on revient sur l'axe après la 6e cheminée, j'ai parcouru depuis le départ 6L. C'est ça qui est important pour moi. Comme mon mouvement se fait à vitesse constante x, c'est v0 t. Et donc ça me donne 6L égale v0 t indices t. Donc je peux obtenir v0 ici qui est de 100 mètres par seconde. 100 mètres par seconde, vous vous souvenez de la conversion, pour passer des mètres par seconde au kilomètre par heure, on multiplie par 3,6. Ça fait donc 360 km par heure. C'est une vitesse qui est très importante. C'est là qu'on voit bien que le contexte de Star Wars nous permet d'avoir une vitesse aussi importante dans cette course-poursuite. Ensuite, qu'est-ce qu'on nous demande? On nous demande de déterminer l'amplitude de la sinusoïde pour que l'accélération reste inférieure à 10G en valeur absolue. Donc G, c'est l'accélération de la pesanteur sur Terre. Et l'idée c'est que c'est difficile pour les pilotes de supporter plus de 10G. 10G c'est déjà beaucoup. Et donc on essaye de limiter cette accélération. Et donc, jusqu'à quelle amplitude je peux aller? Pourquoi? Parce que dans l'idéal, nous on aimerait bien... Il faut voir, si on va trop haut, ça nous fait prendre un virage trop serré, donc potentiellement on va avoir une accélération plus grande. A l'inverse, si je suis plus plat, je risque de me conner contre la cheminée, c'est peut-être plus difficile à manœuvrer, etc. Donc c'est ce compromis qu'on essaie de trouver ici. Et donc qu'est-ce qui se passe? Si j'ai x. qui est égal à v0, x seconde est nulle, donc l'accélération est uniquement selon y. C'est ça qui est important, la vitesse est selon x et selon y, mais l'accélération n'est que selon y. Donc je prends l'équation de la trajectoire, y de x qui est égal à y0, sinus de pi x sur L qu'on a déterminé ensemble précédemment. Et ce qui est important toujours dans cette équation de trajectoire, il ne faut pas oublier que votre x dépend du temps. Le but de l'équation de la trajectoire c'est d'éliminer le temps, parce que ça nous permet de voir quel est le mouvement, quelle est la courbe qu'on décrit avec le mouvement. Mais au fond, il se cache quand même du temps. Or, si vous voulez passer d'une position à une accélération, il va falloir que le temps apparaisse. Pourquoi? Parce que c'est les dérivés par rapport au temps. Donc on va réinjecter le temps dans tout ça. On dit que x est v0 t, ce qui nous donne l'expression de y de t, qui est l'équation horaire. Cette fois-ci on n'a plus de x, on a uniquement du temps. Une fois que j'ai l'équation horaire, c'est très bien pour moi, je vais pouvoir la dériver une fois et deux fois pour obtenir l'accélération. Donc x point, je dérive une fois, je passe du sinus au cosinus, et je dérive encore une fois, je passe d'un cosinus à moins sinus. Et donc ça, c'est l'expression de l'accélération qui est selon y. J'ai un sinus, donc mon accélération va beaucoup changer en fonction de t, c'est normal, parce qu'on décrit un mouvement de slalom, donc l'accélération n'est pas constante. Par contre, ce que je sais sur cette accélération, c'est qu'elle va être toujours inférieure à une certaine valeur, donc en valeur absolue, qui est pi carré v0 carré sur L carré fois y0. Donc je peux me baser sur ça, parce que si je veux que l'accélération reste en dessous de 10g, si ce truc là est toujours en dessous de 10g, l'accélération qui est toujours plus petite que ça, elle va aussi être en dessous de 10g. Et donc pour ça, je vais isoler, il faut que y0 soit plus petit que 10g L carré sur pi carré v0 carré. Pour l'application numérique, qu'est-ce que ça me donne? Ça me donne y0 qui est plus petit que 40 mètres. Donc vous voyez qu'en fait, la largeur, c'est 5 fois la hauteur de la cygne solidale avec tout ça. J'espère que cet exercice vous aura été utile, n'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

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