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Physique-Chimie

Physique

Cinématique du point

Dans ce cours, on apprend à calculer le mouvement d'un point M qui se déplace sur une ellipse. On utilise l'équation cartésienne de l'ellipse pour déterminer les coordonnées du point M à différents moments. On montre également comment déduire la valeur de bêta en utilisant l'équation de l'ellipse. On calcule ensuite la vitesse et l'accélération du point en dérivant les équations horaires de M. Finalement, on montre que l'accélération a est de la forme -oméga carré om, qui correspond à un mouvement d'oscillateur harmonique. On souligne l'importance de connaître les ellipses en physique et en mécanique, car elles apparaissent souvent dans l'étude des mouvements planétaires.

Salut, c'est Leila pour Studio. Aujourd'hui on va faire un exercice sur le mouvement le long d'une ellipse. Donc voilà l'exercice, en gros on a un point M qui se déplace sur une ellipse dont on nous donne l'équation cartésienne. Ça c'est quelque chose qu'il y a à connaître, parce qu'on en a souvent des ellipses. Alors vous avez peut-être une idée, c'est vrai que vous en avez peut-être pas trop manipulé en terminale, mais en fait dans tout ce qui est mouvement des planètes autour du soleil, etc. on va avoir des ellipses. Donc c'est quelque chose qui va beaucoup revenir dans votre cours de mécanique et notamment dans la partie qui s'appelle force centrale, où précisément on étudie le mouvement des planètes autour du soleil. Donc très important de connaître des choses sur les ellipses. Alors là on nous donne les coordonnées du point M, donc alpha cos omega t plus phi et de y de t, bêta sinus de omega t plus psi. Donc on suppose qu'omega est une constante, donc omega c'est la vitesse angulaire à laquelle je parcours cette ellipse. Tout d'abord, on nous dit qu'à t égal 0, le mobile est en M0 et on nous demande de déterminer alpha phi et psi, respectivement. Donc pour ça il faut interpréter ça et l'équation de l'ellipse. Alors allons-y. Donc en M0, ici là vous voyez, moi qu'est-ce que j'ai, j'ai x égale a et y égale 0. Donc je réinjecte ça dans les expressions qu'on connaît, donc x0 est égal à a, c'est alpha cos phi, et y0 c'est 0 et c'est bêta sin psi. Alors c'est là où il faut être un peu astucieux parce qu'il y a plusieurs solutions. Vous allez dire là oui mais moi on nous demande trois inconnues, j'ai que deux équations, donc il faut regarder ce qui permet qu'il y ait encore un mouvement. Donc là je commence par celle là. Là je vois très bien que je peux prendre alpha égal 0, ça ne me pose pas de problème, c'est bien, et donc je peux prendre phi est égal à 1 pour que le cosinus va être 1. Alors là il y a plusieurs solutions, vous voyez, on peut évidemment dire bah non je veux avoir le phi plus grand donc le cosinus va diminuer, du coup le alpha va devoir augmenter, mais on peut aller dans la solution de facilité qui est quand même de dire que le cosinus vaut 1, et en plus vous voyez que pour nous ça va être super parce qu'en fait on va se débarrasser de ce truc là dans l'expression du cosinus, donc elle va être encore plus simple. Même chose, donc bêta sin psi, ça ça vaut 0, donc là j'ai plusieurs solutions, je peux dire que bêta égale 0 ou je peux dire que sin psi égale 0, ce qui veut dire que psi égale 0. Or, si je dis que bêta égale 0, qu'est-ce qui se passe, vous voyez, c'est dire qu'il n'y a plus de y de t. Bizarre non, s'il n'y a plus de y de t, vous voyez que là vous n'allez pas du tout bouger sur y, ça n'a pas de sens, le mouvement n'existe pas. Donc la solution que je prends c'est psi est égal à 0 pour que le sinus s'annule mais que bêta ne s'annule pas. Et donc finalement ça me donne x de t est égal à a cos oméga t et y de t est égal à bêta sinus de oméga t. Vous voyez, on a fait disparaître ces déphasages, ça tombe bien, le mouvement va être encore plus simple. J'insiste, il y a souvent plusieurs solutions pour ces choses-là, vous allez vers le plus simple, un cosinus qui vaut 1, un sinus qui vaut 0, c'est très simple. Alors continuons. Ensuite on nous demande d'en déduire bêta avec les autres données. Donc on n'a pas énormément d'autres données, la seule autre donnée qu'on n'a pas encore utilisée c'est ça. C'est le fait qu'on est sur une ellipse. Parce que vous voyez, en fait ce truc-là, ça pourrait être vrai si on était sur un cercle également. Il n'y a rien qui nous dit spécialement qu'on est sur une ellipse. Donc il faut qu'on intègre tout ça dans l'équation de l'ellipse. Alors allons-y. x sur a au carré plus y sur b le tout au carré est égal à 1. Donc moi je vais prendre ça en fait et je vais détailler qu'est-ce que c'est x carré sur a et qu'est-ce que c'est y carré sur b. Moi ça me donne ça, ça me donne cos carré oméga t plus bêta carré sur b carré sinus carré de oméga t. Et donc ça, ça va être égal à 1 uniquement si b est égal à bêta. Pourquoi? Parce que j'ai cos carré de oméga t plus sin carré de oméga t qui est égal à 1. Souvenez-vous bien de ça quand vous avez des ellipses, cette identité remarquable des sinus et des cosinus, elle est toujours utile pour faire ce genre de manipulation. C'est vraiment très utile. Parce qu'on a en fait, tout simplement parce qu'on peut parcourir l'ellipse avec les équations horaires auquel cas on a des sinus et des cosinus, ou sinon regardez l'équation de la trajectoire qui est avec ces x carré sur a y carré sur b et du coup pour passer de l'un à l'autre on utilise toujours ça. Donc retenez bien ça, vous verrez par la suite ce sera utile. Et donc finalement on a tout déterminé et vous voyez c'est encore plus simple x de t c'est a cos oméga t, y de t c'est b sinus de oméga t. Qu'est-ce qu'on nous demande d'autre? On nous demande finalement les compétences de la vitesse et de l'accélération. Donc allons-y, maintenant qu'on a ça c'est facile, il suffit de dériver. Quand vous dérivez, faites bien attention quand vous dérivez des composés, cosinus de oméga t, si je le dérive ça me donne moins oméga sinus de oméga t. Et même chose, il faut bien que vous mettiez là en fait la dérivée de la fonction u de t qui est à l'intérieur. Là il n'y a pas de difficulté particulière pour ça. Je vous laisse faire les calculs. Et finalement on nous demande de montrer que l'accélération de la forme a est égale à moins oméga carré om et on nous demande de commenter. Alors regardons ça, là on voit qu'en fait comme on a des cosinus et des sinus, je dérive un cosinus une fois j'ai un sinus mais je dérive une deuxième fois je retombe sur un cosinus. Et même chose pour un sinus. Cosinus une fois et hop je retombe sur un sinus. Et donc en effet si je regarde je vois que x seconde c'est moins oméga carré x et y seconde c'est moins oméga carré y. Donc ça c'est un type de mouvement que vous connaissez bien, c'est le mouvement d'oscillateur harmonique d2 om sur dt2 c'est moins oméga carré om. C'est un mouvement d'oscillateur harmonique qui se fait à l'application oméga. Donc voilà l'idée c'est qu'en effet avec cette sorte de dérivé paire impair quand on a un cosinus et qu'on dérive deux fois on retombe sur un cosinus donc c'est pratique et ça peut permettre de faire apparaître des mouvements remarquables. J'espère que ça vous aura été utile n'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

Mouvement sur une ellipse

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