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Physique-Chimie

Physique

Cinématique du point

Le cours parle du pendule simple en physique, où un point est attaché à un fil de longueur L fixé à un point O. Le mouvement est enregistré en coordonnées polaires, et on observe des oscillations pendulaires. Les vecteurs position, vitesse et accélération sont ensuite déterminés en utilisant des coordonnées polaires et cartésiennes, en changeant l'origine du repère. Il est important de connaître les dérivées des vecteurs de base pour résoudre les problèmes et manipuler les différents repères. Les oscillateurs harmoniques sont souvent observés dans les mouvements décrits.

Salut à tous, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui on va faire un exercice sur le pendule. Des exercices sur le pendule, il y en a plein en physique. Là on va tout simplement prendre un pendule simple. On a un point M qui est accroché à un fil de longueur L et l'autre extrémité est fixée à un point O. Le pendule décrit une portion de cercle de centre O et de rayon L. Jusque là, rien de surprenant. Du point de vue de la géométrie, on repère le point M dans le référentiel R par sa coordonnée angulaire θ. Là on est en polaire en termes de coordonnées. On observe des oscillations pendulaires. Lorsque les oscillations sont de faible amplitude, on observe que l'angle polaire est θ, tel que θ de t est égal à θ0 sinus de ωt. En choisissant pour origine des temps, l'instant où M passe au point P. C'est pour que l'on retourne bien sur θ égale 0 lorsqu'on passe en P. On nous demande de définir sur un schéma la base locale de projection polaire et de donner l'expression des vecteurs position, vitesse et accélération dans cette base. C'est quelque chose que vous devez savoir faire super facilement, on l'a revu ensemble dans les méthodes. Donc allons-y. Voilà la base cartésienne, on aurait ux comme ça et uy comme ça par exemple. Et la base polaire c'est la suivante. J'ai θ qui augmente, donc uθ va dans le sens d'augmentation de θ et ur va dans le sens d'augmentation de r, selon le rayon ici. L'expression du vecteur position dans la base polaire c'est Lur. Alors faites attention, parfois vous vous dites mais c'est bizarre, il n'y a pas de θ. C'est normal qu'il n'y ait pas de θ, c'est justement l'intérêt de la base polaire, c'est qu'on peut juste repérer en fonction de quelle distance on a par rapport au centre. Encore une fois pour faire les dérivés, ce qui est important c'est de connaître ça, les dérivés de chacun des vecteurs de la base. Donc Dur sur Dt c'est θ.utθ et dutθ sur Dt c'est –θ.ur. Encore une fois avec ces expressions-là vous pouvez tout faire, il n'y a pas de problème. Donc s'il faut apprendre un seul truc par cœur de ce chapitre, c'est vraiment ces trucs-là. Ça me permet de dériver la vitesse. La vitesse c'est la dérivée de la position par rapport au temps, ce qui me donne L.ur plus L.dur sur Dt. Il ne faut pas que j'oublie que comme je suis en polaire, ce vecteur-là n'est pas constant, donc il faut le dériver. Et pour l'accélération, même chose, ça me donne L.points moins Lθ.carré et 2L.θ.points plus Lθ.points. On pourrait ici très bien vérifier l'homogénéité. Déjà à chaque fois que j'ai un point, ça veut dire que j'ai une dérivée par rapport au temps. Et ici la longueur vient uniquement de L. Donc là quand vous avez L et que vous avez finalement dans votre expression deux points, ça veut dire qu'on a bien une accélération en mètre par seconde au cas. Ok pour ça. Ensuite, on nous demande de définir la base cartésienne de projection et de donner l'expression du vecteur de position sur cette base. Vous voyez, on passe d'une base à l'autre. Allons-y pour la base cartésienne. La base cartésienne est ici, Gy et Gx. L'expression du vecteur OM, c'est XUx plus YUy. Ici, contrairement à la question d'avant, Ux et Uy, ce sont des vecteurs qui sont fixes. Ils ne bougent pas par rapport au temps. Donc OM, si je projette, vous voyez, ici, je vais avoir un sine selon Y et un cos selon X. Et dans les deux cas, je suis positif. Donc ça me fait Lcosθ et Lsinθ. Donc là, j'ai réinjecté l'expression θ de T qu'on nous donnait. Et donc on nous a dit que cosθ est à peu près égal à 1, et sinθ à peu près égal à θ pour les petits angles. Ce qui veut dire qu'en fait, j'ai presque pas de mouvement. Là, si cosθ est à peu près égal à 1, ça veut dire quoi? Ça veut dire que X est à peu près constant. C'est assez logique, si on dit qu'on regarde des petits angles, parce qu'on imagine qu'on va regarder à peu près par là. Et là, en effet, il n'y a que Y qui bouge si on est assez petit. Donc c'est ça l'idée sous-jacente. Ensuite, alors il n'y a pas de question 3, en fait, c'est une erreur de frappe. Donc on passe directement à la question 4. On nous demande de déterminer les composants des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes. Là, on y est. Donc on est évidemment dans la limite des petits angles. Donc dans la limite des petits angles, si j'interprète, ça veut dire que OM est égal à L selon X, et Lθ0 sinθωt selon Y. Pourquoi? Parce que j'ai dit que là, j'ai dégagé le sin. J'ai dit que c'était à peu près du sinωt. Donc ça, ça me donne que la vitesse, c'est la dérivée de la position par rapport au temps. Donc c'est 0. Et selon Y, c'est ωLθ0 cosωt. Pour l'accélération, c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Et donc là, je vais redériver. Alors faites attention quand vous dérivez, à bien sortir le ω de votre dérivé. La dérivée de cosωt, c'est moins ω sinωt. Donc là, je vais voir du ω² qui apparaît. Donc ça me donne ça pour l'accélération. Et finalement, on nous dit en changeant l'origine du repère cartélien pour le placer en P, montre qu'on obtient alors une relation remarquable entre les vecteurs P, M et l'accélération. Qu'en est-elle? Et on demande de commenter. Alors, changer l'origine des axes, ça veut dire passer par la relation de châme. Moi, j'ai le vecteur OM, et ce que je veux avoir, à priori, c'est PM. Parce que je veux dire maintenant que mon origine est en P. Donc pour ça, il faut bien faire attention à la direction des vecteurs. Pourquoi? Parce que PM va comme ça, PO va bien vers le haut, et ensuite OM va comme ça. On monte puis on redescend, c'est ça la relation de châme. Qu'est-ce que c'est ce vecteur PO qui nous manque? C'est –LUx. Comme je vais sur le haut, je suis selon –Ux. Donc PM, c'est –LUx plus OM, et ça me donne 0 selon x, et Lθ0 sin ωt selon y. Donc ça que j'ai appelé Y, c'est le Y par rapport à l'altitude du point P. Pour la vitesse, c'est la dérivée de PM par rapport au temps, donc ça me fait 0. Et OMLθ0 cos ωt, vous voyez que là il ne se passe rien, parce qu'en fait le seul endroit où ça peut changer, c'est en PM. Après en fait je dérive ce truc-là, mais comme ce truc-là c'est PO et que c'est constant, en fait il va disparaître des dérivées, donc là je retombe exactement sur la même vitesse que tout à l'heure. Même chose pour l'accélération, donc ce truc-là j'ai appelé Y seconde, grand Y seconde, et grand Y. Et donc qu'est-ce que je vois? Je vois que Y seconde c'est –ω²Y, c'est un mouvement d'oscillateur harmonique en Y. C'est logique, vous voyez c'est ce qu'on disait tout à l'heure, là si je me balade comme ça, dans la limite des petits angles, je vais osciller autour du point P. Et donc là, cette longueur-là, ça va être ce grand Y qu'on a posé ensemble. Vous voyez qu'en fait on retombe souvent sur des mouvements d'oscillateur harmonique, on en a vu également ensemble lorsqu'on a parlé de l'accélération, donc c'est des choses qui arrivent très souvent. Pour résumer dans cet exercice, il faut savoir bien manipuler les dérivées, les changements de repères. Si on vous demande de changer l'origine d'un repère, vous passez par la relation de Chal, vous voyez que ça a bien marché. J'espère que ça vous aura été utile de faire cet exercice, n'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

Pendule

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