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Probabilités

Indépendance en Probabilité

Dans cet exercice, nous étudions l'indépendance dans un jeu entre deux joueurs A et B. Chaque joueur joue plusieurs parties l'un après l'autre et le premier à gagner toutes les parties remporte le jeu. Les probabilités de victoire pour A et B sont notées respectivement a et b, avec a et b compris entre 0 et 1.

La première question porte sur la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des deux joueurs ne remporte les 2N parties. Pour cela, on utilise la probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est-à-dire la probabilité que A perde chaque partie et que B perde également chaque partie. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de perte pour chaque partie. Cela donne la formule 1-A^N * 1-B^N.

Ensuite, nous cherchons la probabilité que A gagne ou que B gagne. Pour calculer la probabilité que A gagne, on additionne les probabilités de victoire pour chaque partie individuelle. La probabilité qu'une partie soit gagnée par A est a*(1-A)^(K-1)*(1-B)^(K-1), avec K allant de 0 à N-1. En factorisant cette somme, on obtient la formule A * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB).

De même, on peut calculer la probabilité que B gagne en utilisant la formule 1 - probabilité du match nul - probabilité que A gagne. Ceela donne la formule B - AB * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB).

Finalement, pour que le jeu soit équilibré, c'est-à-dire que les chances de victoire pour A et B soient égales, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Cela se traduit par l'équation A = B - AB.

Salut, bienvenue dans cet exercice de ProBas sur principalement l'indépendance. Le contexte, on a deux joueurs A et B qui s'affrontent autour d'un jeu. Chacun va jouer une partie l'un après l'autre. A commence, ensuite c'est B, ensuite c'est A, etc. Il y a au plus de N parties qui sont jouées. Le premier qui gagne, il a gagné l'ensemble du jeu. C'est important, il a gagné l'ensemble du jeu, donc on considère qu'il a gagné toutes les parties. On suppose que A a une probabilité a de gagner. Entre 0 et 1, exclu bien sûr, sinon ce ne serait pas marrant. S'il est sûr de perdre ou sûr de gagner, ce ne serait pas marrant. Et B a une probabilité b de gagner. On suppose aussi que les parties sont indépendantes les unes des autres. Première question, quelle est la probabilité que ni A ni B ne gagnent ? En gros, qu'il n'y ait aucun des deux qui gagne au bout de 2N parties. On va noter, AK, c'est le joueur A qui gagne à la quatrième partie. B, le joueur B qui gagne à la quatrième partie. Ce qu'on cherche, c'est la probabilité de l'intersection des complémentaires. Cela veut dire que A1 ne se réalise pas. Ensuite, vu que c'est A qui joue la première partie, on veut que A perde à la première partie, B perde à la deuxième partie, etc. On veut que B perde à la dernière partie. Les événements sont indépendants, leurs complémentaires aussi. La probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est le produit des probabilités de chacun. Mais B joue que les parties paires. On aura P2K et A2K-1. C'est le produit de K qui va de 1 à N de ces probabilités-là que je viens de dire. Ensuite, ce qu'on veut, c'est avoir une écriture un peu plus précise. On va tout simplement remplacer chaque probabilité par 1-A, 1-B et puissance N, parce que chaque partie a la même probabilité de gagner qu'une autre. La probabilité de perte pour chaque partie, c'est 1-A. 1-A puissance N, 1-B puissance N, pour la probabilité que personne ne gagne au bout de 2N parties. Ensuite, quelle est la probabilité que A gagne ou que B gagne ? La probabilité que A gagne, c'est soit qu'il gagne à la première partie, soit qu'il gagne à la troisième, soit qu'il gagne à la cinquième, etc. C'est l'union à chaque fois de la partie qu'il gagne. Soit qu'il gagne à la dernière qu'il joue, donc à 2N-1. Sauf que si on regarde un cas donné, la probabilité de cette intersection, c'est A, parce qu'il y a un A qui est réalisé, fois 1-A puissance K-1, fois 1-B puissance K-1 aussi. Donc la probabilité que A gagne, c'est la somme de ces probabilités-là. C'est A fois la somme, là on ne factorise pas A, pour K égale 0 à N-1, de 1-A puissance K, fois 1-B puissance K. Et ça, c'est une suite géométrique, ça on voit comme une suite géométrique. Donc ça nous fait A fois 1-A puissance N, fois 1-B puissance N, sur A plus B, moins AB. Si vous n'êtes pas convaincu, il suffit de l'écrire, avec la formule d'une somme d'une suite géométrique. Alors ici, il n'y aurait pas le cas, si on voulait le voir comme une somme de suite géométrique, la raison serait 1-A fois 1-B. Sinon, c'est juste une somme des termes d'une suite géométrique, avec le petit A devant qui traîne. Maintenant, on cherche la probabilité que B gagne. On pourrait faire le même raisonnement, on pourrait, sauf que là, on sait que la probabilité que A gagne, plus la probabilité que B gagne, plus la probabilité du match nul, c'est égal à 1, parce qu'il n'y a rien d'autre comme possibilité. Donc la probabilité que B gagne, c'est 1-la probabilité du match nul, moins la probabilité que A gagne. Donc, on fait une grosse fraction, on met tout sous le même dénominateur, et on calcule. Donc on se retrouve avec tout ça. Je ne vais pas détailler, parce que c'est que du calcul, ce n'est pas très intéressant. Mais globalement, il y a des choses qui vont se simplifier. On se retrouve avec B-AB, moins B-AB fois 1-A puissance N, fois 1-B puissance N, sur A plus B moins AB. Là, on peut factoriser par ça. Et on se retrouve avec B-AB, facteur de 1-A puissance N, fois 1-B puissance N, sur A plus B moins AB. Voilà. Ce n'est pas forcément facile à lire ça et à voir ce qui se passe, mais on se retrouve avec ce résultat-là pour la probabilité que B gagne. Alors, dernière question, on nous dit à quelles conditions le jeu est-il équilibré ? Bon, clairement, le jeu est équilibré si chacun a autant de chances de gagner que l'autre. Donc le jeu est équilibré si et seulement si la probabilité que A gagne est égale à la probabilité que B gagne. Donc ça veut dire, après simplification de ce qui se passe entre cette écriture et cette écriture, on voit qu'on a le même quotient ici que là, et donc la seule différence, c'est petit a et B-A. Si on a l'égalité, on simplifie. Il faut que A soit égale à B-AB. C'est la seule condition pour que le jeu soit équilibré.

Jeu équitable

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