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Probabilités

Indépendance en Probabilité

Dans cet exercice de probabilité, on nous présente un univers fini et un ensemble d'événements mutuellement indépendants. On crée ensuite de nouveaux événements qui appartiennent aux partitions de cet univers. La condition est que chaque nouvel événement soit égal à l'événement d'origine ou à son complémentaire.

On démontre ensuite que l'intersection de tous ces nouveaux événements n'est pas vide. En effet, les événements sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités respectives. Comme les probabilités des nouveaux événements sont toutes différentes de zéro, leur intersection sera donc également différente de l'ensemble vide.

Ensuite, on nous demande de montrer que si les nouveaux événements sont différents, alors leurs intersections sont disjointes. On prouve cela en supposant que l'un des nouveaux événements est différent des autres. Cela implique qu'il existe un événement d'origine qui diffère entre les deux ensembles. Comme les nouveaux événements sont soit égaux à l'événement d'origine, soit à son complémentaire, alors leurs intersections seront vides.

Enfin, on en déduit que le cardinal de l'univers est supérieur ou égal à 2 puissance n (où n est le nombre d'événements d'origine). On montre cela en utilisant le fait que chaque nouvel événement contient au moins un élément de l'univers, et que ces éléments sont tous différents les uns des autres. Puisque chaque nouvel événement a deux possibilités (correspondant à l'événement d'origine ou à son complémentaire) et qu'il y a n événements, il y a donc au moins 2 puissance n éléments dans l'univers.

Voilà pour un résumé SEO friendly de cet exercice de probabilité.

Salut, bienvenue dans cet exercice de Proba. Alors, le contexte, on nous dit qu'on a un univers fini, donc ω, p. On suppose qu'il existe n événements, donc a1, a2, etc., a, n, qui sont mutuellement indépendants et dont la probabilité est entre 0 et 1, donc ça comme toutes les probabilités, mais ni 0 ni 1. Peu importe, voilà pour tout cas. On crée des nouveaux événements, qui appartiennent aux partitions de l'univers, donc b1, b2, etc., b, n, et la condition, c'est que chaque b, k est égal soit à a, k, soit aux complémentaires de a, k. On va commencer par montrer que l'intersection de tous les b, n est différente de l'ensemble vide. Alors, les événements b, k sont indépendants, parce que les a, k le sont, donc les b, k le sont aussi. Donc la probabilité de leur intersection, c'est le produit de leur probabilité, la définition d'indépendance. Or, on sait que pour tout i, p de bi est différent de 0, parce que les bi, c'est soit a, k, soit complémentaires, qui ont une probabilité strictement entre 0 et 1, donc les bi, leur probabilité est différente de 0. Donc, le produit de n nombre non nul, le produit est non nul aussi. Et donc, vu que la probabilité de l'intersection est non nulle, ça veut dire que l'intersection est non vide, tout simplement. Ensuite, on nous dit qu'on prend deux n, u, p de b, i, enfin de b, k, b1, b2, etc. jusqu'à b, n, et b1', b2', etc. jusqu'à b, n'. Et ce qu'on nous dit, c'est que les b, k, b, k', ces mêmes conditions, c'est soit a, k, soit a, k', on suppose qu'on en a deux qui sont différents. D'accord ? Ils sont différents, ce n'est pas le même n, u, p. Il faut démontrer par contre que leur intersection, l'intersection de tous, sont disjoints. Donc, l'intersection de tous sont disjoints, ça veut dire qu'en gros, quand on fait une intersection ici, ça fait l'ensemble vide. Alors, les n, u, p sont différents, donc il existe un k qui appartient à un n, tel que b, k est différent de b, k', parce que s'ils sont tous égaux, c'est le même n, u, p. Donc, il en existe au moins un. Et vu que b, k, c'est soit a, k, soit son complémentaire b, k', pareil, donc s'ils sont différents, il y en a un, c'est a, k, l'autre, c'est a, k complémentaire. Donc, leur intersection vaut l'ensemble vide. Finalement, quand on fait l'intersection des deux n, u, p, si on veut dire, des deux éléments de chaque n, u, p, en fait, dans l'intersection, on va retrouver b, k, et ici, on va retrouver b, k', donc l'intersection, ce sera l'ensemble vide. Donc, les événements sont bien disjoints. Et donc, en déduire que le cardinal de Omega est supérieur à 2 puissance n, donc pour ça, on a dit, donc pour chaque n, u, p, qu'on appelle b, qui est b1, b2, etc., jusqu'à bn, il y a un x, b qui appartient dedans, parce qu'on a montré qu'il est différent de l'ensemble vide, d'après la première question. Mais d'après la question 2, on voit que les x, b, donc c'est un élément de chaque n, u, p, b, ils sont deux à deux différents, parce qu'on a montré que si on en prend un n, u, p, un autre n, u, p, on voit que leur intersection, c'est l'ensemble vide, ils sont disjoints, pardon, je cherchais mes mots. Donc les x, b sont deux à deux différents. Et du coup, il y a deux puissance n, n, u, p. Ça, c'est parce que pour chaque n, u, p, il y a deux possibilités n coordonnées, si on veut. Donc il y a deux puissance n, n, u, p possibles. Donc le cardinal de Omega est au moins égal à 2 puissance n. Mais du coup, on a juste l'info qu'il est supérieur ou égal à 2 puissance n. Et donc voilà pour cet exercice.

Cardinal de l’univers

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