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Dans ce cours, nous apprenons comment utiliser les diagrammes en barre pour les lois binomiales. Dans le premier exemple, nous avons une loi binomiale avec une probabilité de succès de 0,4, mais nous ne connaissons pas la valeur de N. Nous devons estimer l'espérance. La loi binomiale n'est symétrique que lorsque la probabilité est de 0,5, donc nous estimons que l'espérance est centrée autour de 10. En utilisant la formule de l'espérance (E2x), nous estimons que N est égal à 25.

Dans le deuxième exemple, nous devons comparer deux lois binomiales. Nous remarquons que l'une est plus recentrée que l'autre, ce qui signifie que son écart-type est plus faible. L'écart-type mesure l'écart à la moyenne, et plus il est élevé, plus les valeurs sont loin de l'espérance. Les valeurs importantes à retenir sont l'espérance (NxP), la variance (NPx-P), et l'écart-type (racine carrée de la variance).

Enfin, dans un exercice supplémentaire, nous cherchons à déterminer quelle valeur de P est la plus faible. En utilisant la fonction f2x égale à x fois 1-x, nous trouvons que l'écart-type maximum est atteint lorsque la probabilité vaut 1,5. Cela est dû au fait qu'il y a autant de chances d'échec que de réussite, ce qui peut entraîner des résultats très différents.

En résumé, ce cours explique comment utiliser les diagrammes en barre pour les lois binomiales, estimer l'espérance et comparer différentes lois binomiales en fonction de leur écart-type.

Alors on va voir maintenant comment on peut utiliser les diagrammes en barre des lois binomiales. Là on a un premier exemple, ici en bleu, d'une certaine loi binomiale dont on sait que P, la probabilité de succès, vaut 0,4 mais on ne sait pas combien vaut N. Donc là, première question, il faut estimer combien vaut l'espérance. Alors attention, la loi binomiale n'est pas forcément symétrique, elle ne l'est que quand la probabilité vaut 0,5. Là on nous dit que ça vaut 0,4. On a très envie d'estimer, sachant que c'est un entier, ça a l'air pratiquement centré sur 10. Donc on nous dit que si c'est une valeur entière, on a très envie de dire que c'est là, que c'est centré sur 10. Donc l'espérance de E2x, on a envie de dire que c'est 10, ça a l'air assez centré là-dessus. Ensuite il faut qu'on en déduise une valeur possible pour N. Donc la valeur de l'espérance c'est N fois P, E2x. Donc si on a estimé que E2x vaut 10, c'est-à-dire que N vaut E2x sur P, on trouve 25 répétitions. Ensuite on a une deuxième loi binomiale, et là on nous demande de comparer l'une par rapport à l'autre. Qu'est-ce qu'on voit ? On voit que celle-ci est plus recentrée par rapport à celle-là qui est un peu plus large. Donc par rapport aux écarts-types, c'est-à-dire quoi ? C'est-à-dire que l'écart-type est plus faible si elle est plus resserrée. L'écart-type, n'oubliez pas, ça mesure d'une certaine façon l'écart à la moyenne. Plus j'ai un écart-type élevé, c'est-à-dire que plus en moyenne je serai loin de l'espérance. C'est-à-dire que j'aurai beaucoup de valeurs loin de l'espérance. Et ici, les valeurs que vous pouvez retenir qui sont importantes, c'est l'espérance qui vaut NxP, la variance qui vaut NPx-P, et l'écart-type qui vaut le racine carrée de la variance. L'écart-type est plus faible, puisqu'on a dit qu'elle a l'air d'être plus faible dans la deuxième courbe, et comme N est le même, c'est forcément Px-P qui est plus faible. Petit aparté, petit exercice supplémentaire, on se demande quelle valeur de P est plus faible. Là j'utilise la fonction f2x égale x fois 1-x, et ça c'est un problème de degré 2. Je vois tout de suite les racines, c'est 0 et 1, et je sais que l'extrême 1 m'est atteint entre les deux racines, pile au milieu, donc à 1,5, je fais le calcul, ça fait 1,25. Donc en fait, l'écart-type maximum est atteint quand la probabilité vaut 1,5. C'est normal parce qu'on a autant de chances d'avoir d'échecs que de réussites, donc on peut avoir des résultats très différents si j'ai presque à couture de la réussite, à la fin, au final, j'aurai beaucoup de valeur insérée sur beaucoup de réussites. Pareil si j'ai beaucoup d'échecs, alors que quand je perds 1,5, j'ai beaucoup d'incertitudes, je peux avoir pas mal d'échecs, pas mal de réussites. En fait, comme c'est quick-probable, on peut avoir beaucoup de résultats assez différents. Donc voilà, c'était un petit aparté en plus on va dire, mais voilà comment on peut lire des informations sur un diagramme en barre.

Espérance et écart-type : graphique

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