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Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Dans cette transcription de vidéo, l'auteur explique comment montrer qu'un espace est un espace vectoriel en utilisant le noyau d'une application linéaire. Il explique que le noyau d'une application linéaire est similaire à la manière dont un espace peut être décrit comme un vecteur. Il montre ensuite comment utiliser cette méthode pour montrer que l'espace E1 est un espace vectoriel en utilisant une application linéaire spécifique. Il souligne que cette méthode est souvent utilisée dans les concours et est la façon la plus rapide de montrer qu'un espace est un espace vectoriel. Il conclut en disant que connaître cette technique est important dans les concours de haut niveau et que cela n'implique pas de vérifier toutes les propriétés de l'espace vectoriel.

Une petite vidéo bonus pour ceux qui ont déjà vu les applications linéaires. J'ai évoqué dans une autre vidéo du chapitre qu'on peut montrer qu'un espace est un espace vectoriel grâce au fait que ça serait par exemple le noyau d'une application linéaire. Donc c'est uniquement pour les gens qui ont déjà vu ce chapitre. Le noyau d'une application linéaire, c'est un peu la même technique que de dire qu'un espace peut s'écrire comme un vect, en gros on reconnaît la qualité d'espace vectoriel de quelque chose de connu et on va le faire avec ici le noyau d'une application linéaire. Je vous montre comment ça se fait, ça marche dans beaucoup de cas et au final, quand vous arrivez au concours, c'est ça la rédaction qu'il faut faire, c'est la plus rapide, systématiquement. Le seul problème, c'est qu'en général, dans ce chapitre, si vous n'avez vu que ce chapitre-là et que vous n'avez pas encore fait l'application linéaire, vous ne savez pas le faire. Imaginons que vous l'ayez fait, moi j'ai mon espace E1 qui est l'ensemble on a dit des x, y, z, tel que ça et il y a le zéro. Je fais un petit laser, tel que ça et il y a le zéro. Tout de suite, qu'est-ce que je fais ? Je prends la définition de E1 et je dis, vu que c'est x, y, z, tel que ça et il y a le zéro, je pose une application linéaire. Je dis, soit phi l'application linéaire, comment vous la sortez ? Vous ne la sortez pas du chapeau, vous la sortez de la définition de l'espace. Encore une fois, l'espace c'est l'ensemble des trucs comme ça qui vaut zéro. Vous dites, soit phi qui a un vecteur de R3 associé à un réel, le réel x, y, z, tel que ça et il y a le zéro. Phi est linéaire, dans son essence même elle est linéaire puisque phi se définit par une somme des coordonnées et par définition, par E1, c'est le noyau de phi. Ah oui, parce que c'est l'ensemble des éléments tel que x plus y plus 3z soit égal à zéro. Le noyau c'est l'ensemble des éléments tel que phi de grand x est égal à zéro, soit tel que ce truc-là est égal à zéro, ça c'est E1. Donc en fait, à chaque fois vous pouvez vous dire, E1 c'est le noyau de l'application linéaire qui a x, y, z associés à 1. Il n'y en a pas trop d'autres là, ça c'est le bon exemple pour E1, pour les autres ça sera un peu plus compliqué. Mais voilà, en gros, si vous l'écrivez comme ça, ça prend une demi-ligne et c'est assez cool parce que ça montre que vous êtes conscients de cette technique, ça le fait, dans les concours de haut niveau quand même, on s'attend à ce que vous fassiez ça, ça prend une demi-seconde, on avance. On n'est surtout pas en train de vérifier les propriétés de l'espace vectoriel. Voilà, petite vidéo bonus, j'espère que ça vous a aidé. À la prochaine !

BONUS : utiliser le noyau

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