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Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Dans cette vidéo, il est expliqué l'importance des combinaisons linéaires dans le domaine des espaces vectoriels. Différents exemples sont donnés où l'on demande si un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs. Pour résoudre cela, on utilise des coefficients de combinaisons linéaires et on vérifie s'il existe une solution au système correspondant. On explique également qu'il est parfois plus simple de résoudre mentalement certains cas, mais dans d'autres cas, il est nécessaire de faire les calculs de manière plus détaillée. Un petit bonus est mentionné sur l'utilisation de deux vecteurs non parallèles comme base dans un plan. Dans le premier exemple, on démontre que le vecteur (1,2) peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs u1 et u2. Dans le deuxième exemple, on démontre que le vecteur (-1/7,4/7) peut également être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs u1, u2 et u3. Dans le troisième exemple, on résout un système de trois équations pour trouver les valeurs des coefficients de combinaisons linéaires, et on montre que le vecteur (2,4) ne peut pas être exprimé comme une combinaison linéaire des deux premiers vecteurs. Dans le quatrième exemple, on montre que la possibilité d'exprimer le vecteur (2,4) comme une combinaison linéaire des deux premiers vecteurs dépend de la valeur de m. On conclut en soulignant l'importance de savoir utiliser les combinaisons linéaires et en encourageant les questions des spectateurs.

Une vidéo dans laquelle je vous expliquais quelque chose de très important pour le chapitre des espaces vectoriels c'est la notion de combinaisons linéaires et en fait familles libres et familles liées. On vous donne plusieurs exemples où on vous demande est-ce que le vecteur u peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs d'après. Le truc le plus simple c'est de dire on prend des coefficients de combinaisons linéaires quelconques et on voit si on trouve une solution au système. Par exemple je vais dire pour le premier est-ce que je peux trouver lambda et mu tel que le vecteur 1,2 soit bien une combinaison linéaire lambda fois u1 plus mu fois 2,3. Je résout mon système, honnêtement ça se fait assez vite, ça je vous laisse le faire à la main si vous voulez. Pas de détail et on trouve 4 septièmes moins un septième. Le truc important pour moi ici c'est de se dire attention des fois on va le faire de tête et ça ira très vite. Ici c'est compliqué parce que vous voyez 4 septièmes moins un septième vous n'allez pas le sortir de tête. Honnêtement ça ne vient pas comme ça. Ici on peut vérifier donc moins un septième fois 1 ça fait moins un septième plus 8 septièmes ça fait 8 moins 1 ça fait 7 septièmes ça fait bien 1. Ça marche, il y a une combinaison linéaire mais elle n'était pas intuitive. Voilà, pas toujours simple. Je vais vous montrer que la question 2 en gros ça va être assez simple. Je veux d'abord faire aussi un petit bonus. Vous pouvez revenir à ce petit bonus quand vous aurez peut-être vu le chapitre sur la dimension. Mais je vous le dis maintenant et au pire ça vous inspirera. Petit bonus, je me permets de le faire parce qu'en dimension 2 ça a du sens. Quand vous avez deux vecteurs comme ça qui sont non parallèles, clairement ils ne sont pas proportionnels ces deux-là, on est dans le plan donc c'est-à-dire que ces deux vecteurs sont non parallèles, je peux considérer qu'ils jouent le rôle d'une base. C'est-à-dire qu'au lieu de prendre la base ij habituelle, petit i petit j comme ça, je vais prendre ces deux vecteurs-là et dire qu'ils ne sont pas parallèles, ça veut dire que je peux les utiliser comme base pour exprimer n'importe quel autre vecteur. Là ça serait votre conclusion, vous pouvez dire que U1 et U2 n'étant pas parallèles, ils forment ce qu'on appelle une base de R2, je peux construire n'importe quel vecteur comme combinaison linéaire de ces deux-là. Donc automatiquement oui, 1,2 qui est un vecteur du plan est combinaison linéaire de ces deux-là. C'est une réponse élégante qui ne donne pas les coefficients mais qui répond à la question. C'est ce que j'ai mis ici, réponse rapide, comme ils ne sont pas proportionnels ils forment une base. Question 2, vous allez remarquer que c'est exactement la même chose. On est dans R2, on a le même U avec ça, plus U3. C'est peut-être pour vous perturber mais la réponse est simple. Oui, je peux écrire moins 1 septième fois le premier plus 4 septième fois le deuxième, parce que c'est exactement celle qu'on a trouvée au-dessus, plus 0 fois le dernier. Le dernier ne m'intéresse pas donc je dis juste que c'est 0 fois lui, donc c'est bon, j'ai pu trouver une combinaison linéaire. Je pense que c'est un petit truc piégeux pour être sûr que vous avez déjà vu ce cas de figure, que vous compreniez la notion de combinaison linéaire, que oui on peut rajouter autant de trucs qu'on veut, j'ai qu'à mettre des zéros, j'ai le droit. Question 3, ça va être un petit système de taille 3, donc regardons ça vite fait. Donc voilà, question 3 c'est ce truc là. Petit système, on obtient le système suivant avec lambda plus mu, etc. Ça se résout. Donc en gros ici, avec ces deux-là, je peux résoudre très vite que je trouve en gros lambda égal 7 quart en faisant la somme des deux et mu égal 1 quart en mettant la valeur dans la deuxième. Et ensuite j'ai une troisième ligne, et là j'espère, cette troisième c'est un peu ma vérification, si cette troisième ligne fonctionne avec les valeurs que j'ai trouvées grâce aux deux premières, qui forment un système fermé si vous voulez, les deux premières me donnent une solution unique pour lambda et mu, soit cette troisième ligne-là fonctionne, et donc oui, j'ai bien une combinaison linéaire, soit elle ne fonctionne pas et donc je n'ai pas de combinaison linéaire. Je calcule 2 lambda plus 4 mu, ça fait malheureusement 7 demi plus 1 qui n'est pas égal à 3. Donc je n'ai pas de combinaison linéaire de ces deux-là pour écrire celui-ci. On pourra dire que ces trois vecteurs sont indépendants. Petit 4, on fait exactement la même chose, c'est-à-dire qu'on a les mêmes u1 et u2, et on vous dit, essayez de discuter selon la valeur de m, est-ce qu'il y aura une solution ? J'ai le même système qu'avant, quasiment, donc j'ai un système fermé là avec deux équations qui me donnent lambda 1 et mu égale 2, ensuite j'ai une vérification entre guillemets, moi je comprends que 2 lambda plus 4 mu ça fait 10, donc c'est simple, si m vaut 10, oui c'est bon j'ai trouvé une combinaison linéaire, si m ne vaut pas 10 pour toute votre valeur, j'en n'aurai pas. Voilà, c'était mon petit bilan sur les combinaisons linéaires, c'est très important de savoir utiliser ça, j'espère que ça a été utile, posez des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve pour une prochaine vidéo, bye bye !

Combinasion Linéaire

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