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Famille de vecteurs

Le cours porte sur la question de savoir si une famille de fonctions est libre ou non. Dans la question 1, on nous donne trois fonctions sinus différentes et on nous demande de montrer si elles sont liées. Tout d'abord, on utilise quelques formules trigonométriques pour exprimer ces fonctions uniquement en fonction de sinus. Ensuite, on montre que deux des fonctions sont liées à sinus x et on fait la même démarche avec la troisième fonction pour obtenir une relation entre les trois fonctions. Ainsi, on conclut que la famille est liée.

Dans la question 2, on nous donne une famille de fonctions qui sont des polynômes de degré 1. Au début, l'auteur se perd un peu dans ses calculs, mais réalise finalement que toutes ces fonctions sont en fait des combinaisons linéaires d'une constante et de x. Donc, quel que soit l'élément de la famille, on peut l'exprimer comme une combinaison linéaire des deux premiers éléments de la famille. Donc, toute sous-famille de cette famille est également liée, ce qui signifie que la famille entière est liée.

En conclusion, le cours traite de la question de la liberté d'une famille de fonctions. Dans les deux questions abordées, on montre que les familles sont liées, ce qui signifie qu'elles ne sont pas libres. L'auteur souligne également l'importance de prendre du recul et de comprendre les structures mathématiques pour résoudre efficacement ce type d'exercice.

Encore quelques familles et quelques notions de liberté, vous allez voir c'est pas simple mais ça va un peu, certaines vont un peu retrouver, on va un peu retrouver des choses qu'on a déjà vues donc ça sera le niveau moyen je dirais. On a dans la question 1, donc j'ai déjà fait des vidéos avec des sinus, avec des cosinus nθ+, etc. Donc là dans la question 1 on vous dit, vous avez cette fois-ci trois éléments fa, fb, fc avec trois différentes fonctions, donc la fonction sinus x plus a, sinus x plus b, sinus x plus c. Montrer que la famille est libre ou pas libre. L'intuition, si vous avez vu la vidéo que j'ai faite sur une méthode un peu plus basique sur les combinaisons linéaires, l'intuition là c'est que ça va être en gros des sinus x un peu décalés, donc ça risque d'être lié et donc je peux trouver une combinaison linéaire. C'est ce que je vais faire. Donc je connais mes formules trigo, j'écris ici fa, fb, fc. Je ne suis pas vraiment bien rédigé honnêtement, je reconnais donc quelque soit x appartient à R. Voilà, sinus x plus a égal ça, sinus x plus b égal ça, sinus x plus c égal ça. La première chose que je vais faire c'est me dire ok, fa, fb, je peux trouver une combinaison de ces deux là où je n'ai plus de cosinus x, où je peux exprimer ces deux là uniquement en fonction de sinus. Comment faire ? On va se débarrasser de ça en disant je multiplie fa par sinus b, ça c'est sinus b fois sinus a cos x, et je multiplie celle-ci par sinus a pour avoir aussi sinus a sinus b cos x. Je fais la différence des deux, ça dégage, j'ai tout en fonction de sinus. Je me débarrasse du cos x comme ça, donc je fais sinus b fois fa moins sinus a fois fb, ce que je viens de vous dire. J'obtiens sinus x fois tout ça, tout ça ça a le bon goût d'être une formule trigo, et ça fait sinus b moins a. Et donc j'ai ces deux là qui sont liés à sinus x. Vous allez me dire, t'es bien gentil, mais c'est pas sinus x plus c. C'est pas très grave, il suffit de refaire exactement la même démarche avec c et une des deux autres. Comme ça je pourrais exprimer sinus x aussi dans ces deux là. Donc laissez-moi faire juste. Je fais la même démarche entre la fb et fc. J'ai sinus b fois fc moins sinus c fois fb qui vaut sinus b moins c fois sinus x. Et donc c'est bon. En fait, pour peu que b moins c ne soit pas égal à kpi si vous voulez, vous pouvez peut-être faire des cas différents où b moins a ne soit pas égal à kpi non plus, pour peu que ce truc là ne soit pas égal à 0, sinon vous me direz, ça m'arrange aussi, si ce truc là vaut 0, j'ai une combinaison linéaire qui va être facile aussi. On va faire deux cas en gros. Et pour peu que, voilà, soit on met le cas de ces trucs là qui valent kpi en gros de côté, pour peu que je puisse ensuite isoler sinus x. Je vais dire que sinus x c'est tout ça divisé par sinus b moins a et je remplace ici. Et donc j'ai bien une relation entre fa fb et fc, tout bêtement. La famille est liée. Voilà. Le petit 2, alors il y avait aussi un petit 3 en fait, mais je me suis rendu compte que le petit 3 je l'avais déjà corrigé dans une autre vidéo. Le petit 2 c'est l'ensemble des fn tels que fn de x c'est-à-dire nx plus n² plus 1. Je vous reconnais, j'avoue, mes fautes. Je me suis un peu perdu au début. Au début j'ai écrit, je me suis dit bon bah vas-y, test de liberté. J'ai un peu appliqué bêtement une méthode. Bon je vais faire un test de liberté, je prends une famille avec un nombre fini d'entiers. J'essaie de voir, c'est galère, qu'est-ce que je fais, je prends la limite, je divise par n. Une autre chose, déjà j'ai écrit nx², donc je me suis trompé, j'ai pris des polynômes du degré 2 alors qu'en fait c'est que du degré 1. Je n'y ai pas vu clair. Typique démarche d'élève de sub qui se paume dans des trucs. L'élève de sub, ça fait longtemps, mais voilà. Typique, je suis un peu tombé dans les problèmes que rencontre un élève de sub, que je rencontrais à l'époque. Donc je me paume, je fais un truc, c'est flou, c'est pas clair. Alors qu'en fait il faut prendre le temps de respirer et de prendre du recul. Ici je me rends compte que ça c'est un polynôme du degré 1. Si vous avez étudié les polynômes, ça s'appelle R1 de x. Et donc c'est quoi ? C'est un ensemble de polynômes, c'est des combinaisons linéaires en gros d'une constante et d'un x. C'est ax plus b quoi. C'est des ax plus b, donc c'est des combinaisons de constantes plus de x. C'est quand même assez simple ce truc là. Et donc en fait c'est ça l'astuce. Enfin l'astuce, ou la méthode. C'est de se dire, attends, attends, ne part pas tout de suite dans un test énorme de liberté avec p éléments ou je ne sais pas quoi. Non. Ce qu'il faut faire c'est Nx. On se rend compte que c'est du x. N carré plus 1 c'est de la constante. Quand je dis du x, c'est du x en gros. Ce n'est pas plus que ça. Ça c'est de la constante. Il y a du N dedans mais bon ça va je m'en fiche. Donc on est bien sur R1 de x qui est en gros l'ensemble des combinaisons linéaires qu'on peut faire avec une constante et x. Donc les ax plus b si vous voulez. Donc moi j'ai quoi ? Quel que soit x, j'ai f0. Je remplace N par 0. C'est 1. Donc c'est une constante. Parfait. F1 de x c'est x plus 2. Bah en fait voilà. Tous mes éléments fn de x sont en fait des polynômes du degré 1 qui sont des combinaisons de 1 et x qui sont des combinaisons en fait de f1 et f0. Donc je peux écrire que quel que soit i, ensuite quel que soit x. J'ai fi de x qui vaut ix plus i carré plus 1 que je peux écrire comme i fois f1 de x. Donc ça fait ix plus 2i mais le 2i je peux le mettre là. Plus i carré moins 2i plus 1. Une constante fois f0 de x. F0 c'est 1 mais c'est pour montrer que c'est bien une combinaison linéaire des deux. Donc c'est i fois f1 de x. Ça c'est une identité remarquable. J'ai juste que n'importe quel fi s'écrive i f1 plus i moins 1 au carré fois f0. En gros tout est une combinaison linéaire en fait parce que tous les polynômes fn sont du degré 1. Donc en fait n'importe quelle sous famille est liée. Donc une famille beaucoup plus grosse sera liée également. Voilà je voulais le faire parce que je pensais que c'était possible de se pommer là dessus, de se perdre et c'était intéressant. Le fait que je me sois perdu moi-même a rendu l'exercice intéressant pour vous dire voilà des fois prenez un peu de recul, ça va être la force de l'algebra. Prendre des reculs sur les structures et comment elles fonctionnent, ça peut aider à ne pas se pommer et bien résoudre un exercice. Voilà, posez des questions et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

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