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Famille de vecteurs

Résumé SEO-friendly :

Ce cours présente un exercice visant à déterminer si une famille de vecteurs est libre. La famille est construite à partir d'éléments précédents en utilisant des combinaisons linéaires. On pose des réels λ1, λN et on réécrit les équations en fonction de ces coefficients. On cherche à exprimer les coefficients en fonction de λN pour déterminer si la famille est libre. Cependant, l'exercice se complique car il faut tenir compte de la parité des indices. Pour faciliter les calculs, l'enseignant recommande d'utiliser des points de suspension plutôt que des sommes. Finalement, il démontre que si le nombre d'éléments dans la famille est pair, alors la famille est liée, tandis que si le nombre d'éléments est impair, alors la famille est libre. Il souligne l'importance de rester concentré et organisé lors de la résolution d'exercices de ce type.

Encore un exercice de test de liberté, donc un peu plus dur que la moyenne, on essaie de faire des exercices plus difficiles qui peuvent tomber en col. On a une famille libre, et là on va construire une famille dessus, qui est basée sur des éléments de cette famille. Donc on a chaque WK, c'est la somme de WK plus celui d'après. Après on pourrait se dire, il y aura un problème, WN ça va être WN plus WN plus 1, WN plus 1 n'existe pas. Donc non, on a défini jusqu'à N-1 comme ça. Et le dernier WN, pour avoir une famille de taille N en effet, le dernier on prend WN plus, au lieu de prendre WN plus 1, on fait un cercle et on repart sur WN le premier. Voilà, bouclé bouclé. Étudier si la famille est libre. Test de liberté, premier truc, pour s'en n'est pas paumé et ne pas savoir quoi faire. Soit on voit un truc évident, on le dit, soit on part dans la démarche qui marche le plus. Quitte à, dans certains cas, ce qui m'arrive des fois, se perdre dans un truc qui n'est pas efficace, ça peut arriver, mais bon, c'est safe, c'est la démarche vraiment rassurante, sans trop de problèmes. On pose λ1, λN des réels tels que, bref. On réécrit le tout. Soit λ1, enfin, λ1 fois W1 égale W1 plus W2, etc. jusqu'au dernier. C'est écrit comme ça, on écrit tout bien, voilà. Moi je sais que W1, WN, donc ça, ça va être le truc clé dans cet exercice, je sais que W1, WN, c'est une suite, pas du tout, c'est une famille qui est libre. Bah si c'est une famille qui est libre, je vais m'arranger pour écrire tous mes termes W1 plus ensemble, plus mes termes W2 fois quelque chose, plus etc. Et dire, bah voilà, ensuite, vu que c'est une famille libre, je sais que les coefficients vont être nulles. Là c'est mal organisé, donc je vais réorganiser un peu tout ça et je vais recombiner selon les VI. Ça paraît trop compliqué, par exemple W1, je sais qu'il n'est que en λ1 et λN. Celui-là c'est celui qui est un peu bizarre parce qu'il est en fin de cycle. Mais W2 par exemple, il est en λ1, il est en λ2. Je vais pouvoir le faire à la main assez rapidement. Je pense que l'erreur ici, ça serait, je vais le tester un peu au cas où, j'ai pas aimé du tout, c'est d'écrire tout avec des sommes. Là vous écrivez en somme et vous recombinez les termes des sommes en faisant des changements d'indices, des machins, honnêtement, on n'y comprend rien. Donc le plus simple, c'est de le faire un peu avec trois petits points, en tout cas moi je vous le conseille, ça donne plus de clarté. Ça sert à rien de s'encombrer d'écriture, ces écritures de somme sont censées nous aider en condensant un peu l'écriture. Si elles vous confusent, c'est pas un verbe je sais, mais si elles vous rendent plus confus que ce que vous pouvez être sans, bah les utilisez pas. Voilà, donc en gros, W1, 3λ1 plus λn. V2, c'est quoi ? λ1 plus λ2. Je comprends qu'à chaque fois, en fait, c'est celui du V2 mais plus celui d'avant qui l'avait appelé aussi. Donc Vn-1, c'est λn-2 plus λn-1. Et Vn, c'est λn-1 plus λn. Par liberté de la famille, je peux écrire que chacun des coefficients est nul. Et donc, je vais essayer de jouer sur le cycle. λ1, c'est moins λn. Ok, donc λ2, c'est moins λn, donc c'est plus λn. λ3, c'est moins λn. Et je continue comme ça jusqu'à la fin. Le problème, c'est que je ne savais pas trop écrire cette relation. En gros, mon but, c'est d'exprimer tout en fonction de λn et de me dire, voilà, j'arrive à la fin à un truc qui me dit que λn est égal à 0. Et donc, je remonte et ils sont tous égaux à 0 parce que λn vaut 0. C'est ça, mon idée. Mais là, je me suis retrouvé coincé en mode, zut, attends, je vois que c'est 1 sur 2, λn moins λn, λn moins λn. En gros, les pairs, c'est λn, les impairs, c'est moins λn. Mais je ne savais pas, en fait, λn-2 ou λn-1. Je ne sais pas s'il est pair ou impair, donc je suis bloqué par la parité. Ce n'est pas grave. Dès qu'on voit ça, on se dit, ok, l'exercice me dit, attention, la parité compte, tu vois que c'est 1 fois sur 2, il faut faire une distinction de cas. J'essaie d'insister sur la logique en mode, la distinction de cas, elle ne tombe pas du ciel, ce n'est pas genre, le prof l'a dit comme ça. En fait, ça peut tomber de votre analyse. Là, je me rends compte que c'est 1 fois sur 2, je suis coincé, je suis embêté, ça m'a saoulé, j'étais en mode, qu'est-ce que je fais, je suis bloqué. En fait, vu qu'apparemment ça sera simple dans un cas où c'est pair et impair, je pourrais bien déterminer, je vais faire qu'à pair et impair. Je commence par si n égale 2p. Je remplace n par 2p partout. λ1 égale moins λ2p, etc. Et à la fin, cette relation-là, c'est donc λ2p-1 égale moins λ2p. J'utilise le truc d'avant qui lui vaut λn. Et donc j'ai λ2p-1 plus λn le dernier, plus λ2p, qui vaut 0. Et je me rends compte qu'en fait là, je suis un peu dérangé, parce que celle-ci, ok, il y a un moins là. En fait, elle répète celle-là. Donc là, je suis coincé. J'ai n équation n inconnue. Je me retrouve sur les 2p équations, 2p inconnues, c'est pareil. Et là, je me retrouve avec une équation de moins. C'est foutu, je n'aurai pas de solution unique. On va regarder si je peux montrer que tout est égal à 0, mais je ne pense pas. Donc en gros là, j'ai un truc de moins. Et qu'est-ce qui va se passer ? Je vais analyser un peu, et je vais me dire, peut-être que potentiellement, ça veut dire que je peux trouver une combinaison linéaire qui annule le tout. Et donc la famille n'est pas libre. Parce que moi, je portais sur l'idée qu'elle était libre. On va regarder. Je vais tenter un truc. Attends, fixons λ2 égale 1. λ2p égale 1, je le fixe. Là, j'ai une combinaison linéaire, en fait. Je me rends compte que tous les λ2k plus 1, tous les λimpères, ça vaut moins 1. Apparemment, si je fais ça, c'est une solution au système. Donc j'ai trouvé une combinaison linéaire. Donc la famille est liée. Zut. En tout cas, pas zut. Mais dans le cas où n est père, ça me fait une famille liée. On va essayer de le voir. Je trouve que quand j'ai vu ça, j'étais en mode patient de moi. Et je me suis illustré au brouillon le truc avec n égale 4, et j'ai mieux vu. Je vais vous le faire pour comprendre. Ce n'est pas une démonstration, mais c'est pour bien capter ce qu'il se passe. J'applique la règle que j'ai dit là. Pour n égale 4, je fais moins w1 plus w2. W3, c'est un père. Moins w3 plus w4. Qu'est-ce que ça fait ? Moins v1, moins v2. Plus v2, plus v3. Moins v3, moins v4. Plus v4, plus v1. V1, v1. V2, v2. V3, v3. V4, v4. Ça fait zéro. En effet, quand c'est père, apparemment, il y a le bon nom pour que ça se combine et que tout s'en aille. Je peux trouver une combinaison linéaire. Et donc, la famille n'est pas libre. Intéressant. Car un père, je fais la même chose. L'avant-dernière ligne, j'avais un moins ici. Maintenant, j'ai un plus. Et donc, l'avant-dernière ligne n'est pas égale à la dernière ligne. Elles sont différentes. Et donc là, j'ai un système de deux. Deux équations, deux inconnues. Avec, en gros, a moins b égale zéro, a plus b égale zéro. A et b sont nuls. Donc les deux sont nuls. Ensuite, par domino, tout est nul. Et dans ce cas-là, la famille est libre. Je trouve intéressante la discussion et surtout comment elle peut émerger. Quand vous vous rendez compte que je pose mon système, il faut bien écrire les choses et être bien cadré, bien structuré. Parce que vous êtes tout seul face à votre copie. Ou au tableau, après vous pouvez être accompagné. Il faut vraiment se concentrer pour ne pas partir dans tous les sens. Je me rends compte que je peux faire ça. Je suis paumé. Je prends l'initiative. Je dis au prof, écoutez, je vais tenter avec une parité. Je vais voir si ça a l'air plus simple. Là, je ne peux pas le déterminer. Limite, vous le faites dans une démarche de ça sera plus facile pour le cas n égale 2p, par exemple. Et je vois si ça aboutit. Là, il vous dira, très bien, c'est ce qu'il faut faire. Voilà. J'espère que ça vous a aidé. Posez des questions s'il y a besoin. On se retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

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