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Encadrer (-1)^n

Dans ce cours, nous avons étudié une autre type de suite nécessitant un encadrement. Il s'agit des suites où il y a un "-1 puissance n" inclus. Dans ce cas, il n'y a pas de limite pour "-1 puissance n", donc nous utilisons l'encadrement pour déterminer la limite de la suite UN. Dans ce cas précis, UN est égal à 3 plus "-1 puissance n sur n". En raison du terme "-1 puissance n sur n", qui tend vers 0 en raison du facteur "sur n", nous pouvons voir que UN tend vers 3. Nous prouvons cela par encadrement. En partant de l'encadrement de "-1 puissance n", nous multiplions ensuite par un sur n, qui est positif, ce qui ne change pas le sens des inégalités, et nous ajoutons 3. Ainsi, nous avons 3 moins 1 sur n, qui est plus petit que UN, qui est plus petit que 3 plus 1 sur n. Par conséquent, le terme de gauche tend vers 3, tout comme le terme de droite. Selon le théorème d'encadrement, nous en concluons que UN tend vers 3. Il est important de souligner que le théorème d'encadrement permet non seulement de prouver la convergence, mais aussi de trouver la limite, ce qui en fait un théorème très puissant. Grâce à l'encadrement, nous avons donc montré que UN tend vers 3.
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Exo TRÈS classique

Dans cette leçon, nous avons étudié une méthode pour trouver la limite d'une suite qui est une fonction rationnelle. Nous avons examiné le cas où le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, et la limite est alors le quotient des coefficients dominants de ces deux polynômes. Cependant, au lieu de nous intéresser à la limite elle-même, nous avons montré des résultats préliminaires tels que la majoration et la croissance de la suite, à partir desquels nous pouvons conclure sur sa convergence en utilisant les théorèmes de convergence. Dans le premier exercice, nous nous sommes intéressés à la majoration de la suite Un=n-1 / (n+4) et avons montré qu'elle est inférieure à 1. Ensuite, nous avons étudié la monotonie de la suite, en regardant Un+1 - Un, et avons conclu que la suite est strictement croissante. Ensuite, nous avons montré que la suite est à la fois croissante et majorée, ce qui implique qu'elle est convergente. Cependant, nous ne pouvons pas déduire la limite à partir de ces résultats. Ensuite, nous avons examiné un autre exemple avec la suite Un=2n-2 / (n+4). En utilisant la méthode précédente, nous avons montré que la suite est majorée par 2 et que la suite est strictement croissante. Cela implique que la suite est convergente, mais encore une fois, nous ne pouvons pas conclure sur la limite. En conclusion, cette méthode nous permet de montrer la convergence d'une suite rationnelle en montrant sa majoration et sa croissance, mais elle ne nous permet pas de déterminer la limite. Il est important de noter que la limite n'est pas nécessairement le majorant trouvé, et que la suite peut converger vers une valeur inférieure.
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Introduction Limites

Lors de l'étude des limites de fonctions, on peut s'inspirer de ce qui a été fait pour les suites. Une suite converge lorsque ses termes semblent se rapprocher d'une valeur. Les fonctions sont plus complexes que les suites car elles portent sur l'ensemble des réels, contrairement aux suites qui ne portent que sur les entiers. Les fonctions peuvent avoir différents types de limites, comme se rapprocher d'un réel, tendre vers l'infini ou osciller. On utilise un vocabulaire plus étendu lorsqu'on parle de limites de fonctions. Les limites peuvent être étudiées en l'infini, c'est-à-dire lorsque la variable tend vers l'infini, ou en un réel particulier. Il y a également des cas où il n'y a pas de limite. Des exemples graphiques sont utilisés pour illustrer ces différents cas. On introduit également la notion d'asymptote, qui est une droite vers laquelle la fonction semble tendre. Dans ce chapitre, nous étudierons les définitions et les exemples de limites, ainsi que les méthodes pour les calculer. Nous utiliserons l'analyse graphique, la factorisation et les définitions pour déterminer les limites. Il faudra aussi connaître les concepts d'asymptotes horizontales et obliques.
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En l'infini, limites finies et infinies

La séquence présente deux définitions des limites lorsque x tend vers l'infini en mathématiques. La première définition concerne les fonctions qui tendent vers l'infini lorsque x devient de plus en plus grand. On dit qu'une fonction tend vers l'infini si, quel que soit le plateau Y choisi, la fonction finit toujours par dépasser ce plateau. La deuxième définition concerne les fonctions qui tendent vers un réel L. Dans ce cas, toutes les valeurs de la fonction finissent par être comprises dans un intervalle autour de L, peu importe la taille de cet intervalle. Ces définitions sont similaires à celles utilisées pour les suites. Il est important de préciser que lorsque x tend vers plus l'infini, afin de distinguer les autres valeurs de x. Les exemples graphiques sont présentés pour illustrer ces définitions. Il est conseillé de comprendre ces concepts, car ils sont utilisés dans des exercices mathématiques et peuvent rapporter des points précieux. N'hésitez pas à poser des questions si nécessaire.
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Les asymptotes horizontales

Lorsque X tend vers l'infini, une asymptote est une droite vers laquelle la courbe de la fonction F se rapproche. Cela se produit lorsque la limite de F lorsque X devient très grand converge vers un réel appelé L. Il est important de rappeler qu'il existe une asymptote à la courbe de F et non à la fonction F elle-même. Une petite erreur courante à éviter est de dire que la droite se colle à la fonction F au lieu de dire qu'elle se colle à la courbe de la fonction F. Un exemple d'asymptote horizontale est une fonction de la forme 1/X, où la droite Y égale 3 est asymptote à la courbe de F. Il peut y avoir des asymptotes croissantes ou décroissantes selon le côté où la courbe se rapproche de la droite. Il est également possible d'avoir une asymptote pour des fonctions comme le sinus. L'asymptote est la droite vers laquelle la courbe de F se rapproche infiniment proche. C'est une notion liée à la limite et intuitive.
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Bonus : Les asymptotes obliques

Dans ce cours, nous abordons le concept d'asymptote oblique qui se produit lorsque l'asymptote d'une courbe n'est plus horizontale mais inclinée. Nous considérons une fonction f définie sur un ensemble de définitions (df), dont la courbe cf représente la fonction f. Lorsque la différence entre la valeur réelle f2x et la droite ax + b tend vers 0, cela signifie que la courbe se rapproche de la droite oblique ax + b. Contrairement aux asymptotes horizontales où f2x tend vers une valeur réelle l, ici f2x tend vers plus l'infini car elle suit une droite affine. Il est important de savoir détecter et comprendre ce type de situation, car cela se produit fréquemment dans les exercices. Un exemple d'illustration est donné, montrant comment la courbe verte se rapproche de plus en plus de la droite rouge à mesure qu'on se rapproche de l'infini. Lorsque l'on dézoome, on constate que la courbe est pratiquement une droite. Dans certaines situations, cela peut également se produire de l'autre côté de la courbe. La différence entre les valeurs des courbes verte et rouge tend vers 0, indiquant un rapprochement. Ce cours a pour objectif de clarifier le concept d'asymptote oblique.
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En un point réel, limite infinie

Lorsqu'on parle de limite de fonction avec X qui tend vers un réel A, on distingue deux cas principaux : 1. La fonction F peut finir par partir vers plus ou moins l'infini. 2. La fonction F peut converger vers une valeur finie. Dans le cas où la fonction F converge vers une valeur finie, cela signifie que la courbe de la fonction suit son cours normal et s'approche d'une valeur L. Cette notion est appelée la continuité. Par exemple, la limite de X + 3 lorsque X tend vers 2 est égale à 5. Cependant, il existe des cas plus complexes, comme celui de la fonction sinus X sur X où la limite en 0 est indéterminée (0/0). Dans ce cas, on exclut 0 de l'ensemble de définition de la fonction pour éviter une division par 0. Malgré cela, il est possible de démontrer que la limite de cette fonction en 0 est égale à 1. En ce qui concerne la limite infinie, on peut l'aborder en utilisant la notion de plateau. Lorsque la fonction F tend vers plus l'infini, cela signifie que la fonction ne peut être bloquée par aucun plateau de données. Par exemple, si on prend une hyperbole, peu importe la taille du plateau choisi, la fonction finira par le dépasser lorsqu'on se rapproche de plus en plus d'une valeur donnée. Si la limite à gauche ou à droite de F(x) lorsque X tend vers A est infinie, on parle d'une asymptote verticale en X égale à A. En résumé, lorsque X tend vers un réel A, il peut y avoir plusieurs cas de limite de fonction, dont certains peuvent être représentés par des asymptotes verticales ou horizontales.
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Analyse graphique

Bonjour à tous ! Dans ce cours, nous allons aborder la notion des limites des fonctions à travers une analyse graphique. Nous examinons une fonction tracée et tentons de déterminer ses limites. Lorsque nous observons le graphique, nous constatons que lorsque x tend vers l'infini, la fonction tend vers 0. C'est notre première observation. Ensuite, lorsque x tend vers 0 par une valeur positive, nous remarquons que la courbe s'élève vers l'infini. Cela nous conduit à conclure que la fonction admet deux asymptotes, une verticale en x=0 et une horizontale pour les valeurs positives et négatives infinies. Lorsqu'on nous demande les équations des asymptotes, nous savons que les droites horizontales sont de la forme y=a, tandis que les droites verticales sont de la forme x=a. Dans ce cas, l'équation pour l'asymptote horizontale est y=0 et pour l'asymptote verticale, c'est x=0. Une remarque importante à faire est qu'on parle d'une droite comme étant l'asymptote d'une courbe et non de sa fonction. Enfin, il est tout à fait possible qu'une droite soit asymptote en deux endroits, comme c'est le cas ici où l'asymptote horizontale est présente pour les valeurs positives et négatives infinies. Voilà pour cette méthode d'introduction. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser.
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Calcul limite en un point fini par factorisation

Dans ce cours, nous allons apprendre une méthode pour calculer la limite d'une fonction lorsque l'on a une forme indéterminée. Dans ces cas-là, il est souvent possible de factoriser pour lever l'indétermination. Dans le premier exemple, nous avons la fonction f(x) = x² - 2x / (x - 1). On peut remarquer que cette expression peut être simplifiée en utilisant l'identité remarquable (x - 1)² / (x - 1), ce qui donne x - 1. Ainsi, la limite de f(x) lorsque x tend vers 1 est 0, que ce soit à gauche ou à droite. Dans le deuxième exemple, nous avons la fonction g(x) = (x² - 2x + 1) / (2x - 2). Nous pouvons simplifier cette expression en factorisant tout d'abord le numérateur par (x - 1)² et en factorisant ensuite par 2. Ainsi, g(x) peut s'écrire comme 2(x - 1)(x - 2). Pour trouver les racines de ce polynôme, nous pouvons utiliser la méthode classique du delta, qui nous donne les racines x1 = 1 et x2 = 2. En utilisant ces racines, nous pouvons factoriser g(x) en 2(x - 1)(x - 2). En simplifiant cette expression, nous obtenons (x - 1) / (2x - 2). Nous pouvons également remarquer que si nous avions testé la valeur 1 comme racine, nous aurions pu trouver directement la factorisation sans calculer le delta. Ensuite, nous devons déterminer la limite de ces fonctions à droite et à gauche en 1. Pour f(x), la limite est de 1 des deux côtés. Pour g(x), quand x tend vers 1, la limite de x - 2 est -1, ce qui est différent de 0. Ainsi, la limite de g(x) quand x tend vers 1 est 0. En conclusion, lorsque nous avons une forme indéterminée, il est souvent possible de factoriser pour simplifier l'expression et trouver la limite rapidement. Il est essentiel de s'entraîner sur ce type de méthodes pour bien les maîtriser.
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Determiner une asymptote + étude

Dans ce cours, nous apprenons comment trouver les asymptotes d'une fonction. Les asymptotes peuvent être situées à moins l'infini, à plus l'infini, à la fois à moins l'infini et à plus l'infini, ou sur les bords de l'ensemble de définition de la fonction, là où il y a des valeurs interdites. Dans l'exemple donné, la fonction f(x) = -2/(1-x) est définie sur R privé de 1. Nous examinons les cas de moins l'infini et plus l'infini. Quand x tend vers moins l'infini, 1-x tend vers plus l'infini, et quand x tend vers plus l'infini, 1-x tend vers moins l'infini. Par quotient, nous concluons que f(x) tend vers moins l'infini en 0 et vers plus l'infini en 0. Nous en déduisons alors que la courbe CF a pour asymptote horizontale la droite d'équation y = 0, à moins et plus l'infini. Ensuite, nous examinons ce qui se passe en 1. Quand x tend vers 1 par valeur inférieure, 1-x tend vers 0 plus, et quand x tend vers 1 par valeur supérieure, 1-x tend vers 0 moins. Afin de confirmer cette tendance, nous pouvons choisir une valeur inférieure à 1, comme 0.1, où 1-0.1 est positif. Ainsi, 1-x tend vers plus l'infini en 1 par valeur inférieure. Nous pouvons également choisir une valeur supérieure à 1 pour vérifier. De ce fait, par quotient et en tenant compte du facteur -2, nous concluons que f(x) tend vers moins l'infini en 1 par valeur inférieure et vers plus l'infini en 1 par valeur supérieure. Lorsqu'il y a une valeur interdite, cela indique généralement une tendance vers plus ou moins l'infini, et nous avons alors une asymptote verticale. Ici, en x = 1, nous avons donc une asymptote verticale d'équation x = 1. En résumé, pour trouver les asymptotes, nous regardons les tendances en plus l'infini, moins l'infini et sur les bords de l'ensemble de définition de la fonction. Je recommande de vous entraîner à ces calculs et si vous avez des questions, consultez la FAQ.
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Calcul de limite infinie avec la définition (trouver un A)

La limite est définie comme étant lorsque une fonction tend vers l'infini. Peu importe la hauteur fixée, il y aura toujours un moment où la fonction la dépassera et sera au-dessus. Pour montrer cela, nous pouvons tracer des graphiques et fixer des valeurs pour m. A partir de ces valeurs, nous pouvons trouver les points où la fonction est toujours au-dessus de la hauteur fixée. Dans cet exemple, nous avons tracé une fonction racine de x et fixé différentes valeurs pour m. Nous pouvons constater que peu importe la valeur de m, il existe toujours un réel a où la fonction est au-dessus de la hauteur fixée. Ensuite, nous passons à un autre exemple où f(x) est égale à la racine de x carré moins 1. Pour montrer que la limite de cette fonction tend vers l'infini, nous devons trouver la valeur de a en résolvant l'inéquation f(x) > m. Nous trouvons a = racine de m carré plus 1. En utilisant cette valeur de a, nous pouvons montrer que si x est supérieur à a, alors f(x) sera supérieur à m. Il est important de s'exercer avec différentes fonctions pour pratiquer cette méthode et trouver les bonnes valeurs de a. En fin de compte, il s'agit simplement de résoudre des équations. C'est ainsi que nous revenons à la définition formelle de la limite.
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Calcul de limite finie avec la définition (trouver un epsilon)

La méthode que nous allons utiliser pour le calcul de la limite finie consiste à utiliser la définition formelle de la limite avec les epsilon. En utilisant cette méthode, nous pouvons montrer que la fonction tend vers moins l'infini. Nous fixons un réel et nous choisissons une limite aussi basse que nous le souhaitons. Nous cherchons ensuite une valeur négative pour laquelle la fonction sera inférieure à cette limite. Nous trouvons un intervalle du type 1-epsilon1, où la fonction est inférieure à M1. Nous pouvons faire la même chose avec d'autres valeurs de M pour obtenir d'autres intervalles. La méthode consiste à partir de l'inégalité f(x) inférieure à M, à résoudre f(x)-M et à trouver un encadrement de x qui nous permet de trouver l'epsilon correspondant. Nous prenons un réel M négatif, nous regardons la limite en 1- et nous résolvons f(x)-M, ce qui nous donne l'encadrement de x. Nous trouvons ensuite l'epsilon en utilisant cet encadrement. En résumé, nous utilisons la méthode de l'encadrement pour trouver l'epsilon correspondant en partant de l'inégalité f(x) inférieure à M. Nous trouvons ainsi rigoureusement que la limite quand x tend vers 1- est moins l'infini. Il est important de s'exercer avec d'autres exemples pour bien comprendre cette méthode.