Petit théorème de Fermat

Dans cet exercice, on étudie le petit théorème de Fermat en utilisant la méthode de récurrence sur A. On veut montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, le coefficient binomial p divise k parmi p. Pour cela, on utilise la définition du coefficient binomial k parmi p, qui est p factoriel divisé par p-k factoriel fois k factoriel. On remarque que si on sort le p et le k de la factorielle, on peut réécrire cela comme k-1 parmi p-1. Comme les coefficients binomiaux sont des nombres entiers, on peut en déduire que p divise k parmi p. Ensuite, on veut montrer que a puissance p est congru à a modulo p en utilisant la récurrence sur a. On commence par l'initialisation en prenant a égale à 1, ce qui donne 1 puissance p congru à 1 modulo p. Ensuite, on effectue l'étape de récurrence de a à a plus 1. Pour cela, on utilise la formule du binôme de Newton pour décomposer a plus 1 puissance p en une somme de coefficients binomiaux multipliés par a puissance k. On remarque que grâce à ce que l'on a montré précédemment, seul le terme correspondant à k égal à 0 et à k égal à p ne sont pas divisibles par p. En prenant la congruence modulo p, on peut simplifier cette somme pour obtenir a puissance p plus 1. En utilisant l'hypothèse de récurrence, qui dit que a puissance p est congru à a modulo p, on peut conclure que a puissance p plus 1 est congru à a plus 1 modulo p. Ainsi, on a montré par récurrence que a puissance p est congru à a modulo p, ce qui est le petit théorème de Fermat.