Nombre de Fermat suite

Dans cet exercice, nous montrons qu'il y a une infinité de nombres premiers en utilisant les nombres de Fermat. Nous commençons en montrant par récurrence que pour tout n et pour tout k plus grand que 1, nous avons l'égalité suivante : 2 puissance 2 puissance n plus k moins 1 est égal au produit de 2 puissance 2 puissance n moins 1 et du produit de 2 puissance 2 puissance n plus i plus 1 pour i allant de 0 à k moins 1. Ensuite, nous montrons que pour tout m différent de n, les nombres de Fermat fn et fm sont premiers entre eux. Nous utilisons l'hypothèse de récurrence précédente pour montrer cela. Enfin, nous utilisons les nombres de Fermat pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers. Nous supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers et nous considérons les nombres de Fermat F1, F2, F3, etc. jusqu'à FN plus 1. En utilisant le principe des tiroirs, nous montrons qu'il y a forcément deux nombres de Fermat distincts qui ont le même diviseur premier, ce qui contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux. Par conséquent, il ne peut pas y avoir un nombre fini de nombres premiers et il en existe une infinité.