Une fraction à étudier et ses tangentes

Ce cours est une étude de fonctions avec dérivation. On nous demande de trouver la dérivée d'une fonction complexe et de déterminer les propriétés des tangentes à cette fonction. On applique les deux réflexes : simplifier la fonction et séparer le terme de x. On trouve que f(2x) = -x + 2 - 1/x, avec a = -1, b = 2 et c = -1. En dérivant cette fonction, on obtient f'(x) = -1 + 1/x^2. On étudie ensuite les variations de la fonction en utilisant des conditions de positivité. On trouve que f'(x) est positif ou nul pour x dans (-1,1). On met également en évidence la valeur interdite x = 0. On remarque que la tangente est horizontale pour x = -1 ou x = 1, et a une pente de 3 lorsque f'(x) = 3. On utilise ensuite la formule de la tangente pour trouver l'équation de la tangente aux points d'abscisses -2. On détermine ensuite les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec les axes du repère en utilisant l'expression simplifiée de la fonction. On conclut en soulignant l'intérêt de remarquer des propriétés spécifiques de la fonction et en rappelant les différentes étapes de l'étude de fonction.