Fraction rationnelle et parité

Ce cours traite de l'étude d'une fonction classique, en partant de son énoncé. La première étape consiste à déterminer l'ensemble de définition de la fonction, qui est R (l'ensemble des nombres réels). Ensuite, on examine les variations de la fonction. Dans ce cas, la fonction est impaire, ce qui signifie qu'elle présente une symétrie par rapport à l'origine du repère. Grâce à cette propriété, on peut étudier la fonction uniquement sur le côté positif de l'axe des abscisses (R+), et ensuite appliquer une symétrie pour obtenir le comportement de la fonction sur le côté négatif (R-). Une remarque importante est que la fonction est dérivable car elle est le quotient de deux fonctions dérivables (ou polynômes). On utilise la formule de dérivation pour calculer la dérivée de la fonction et ensuite on étudie son signe. On obtient que la dérivée est positive ou nulle lorsque x est compris entre 0 et la racine carrée de 3. À partir de là, on peut tracer le graphique de la fonction en utilisant ces informations. Pour tracer correctement la courbe, il est conseillé de réaliser une étude plus approfondie en utilisant des notions de convexité et d'autres techniques avancées. Dans cet exemple, on se contente d'esquisser le graphique en indiquant qu'il y a un point maximum en 0 avec une pente de 1/3. Ensuite, la courbe descend jusqu'à tendre vers 0 lorsque x tend vers plus l'infini. Pour le côté négatif (R-), on fait simplement une symétrie par rapport à l'origine pour obtenir le comportement de la courbe. En résumé, le principal enseignement de ce cours est la possibilité d'utiliser la parité d'une fonction (pair ou impaire) pour simplifier son étude et gagner du temps. Ce concept permet de déterminer le comportement de la fonction sur R+ et ensuite d'appliquer une symétrie pour obtenir le comportement sur R-.