Divisibilité de n⁵-n ?

Le cours porte sur la factorisation de l'expression a_n = n^5 - n. L'auteur recommande de procéder à une étape de simplification initiale en factorisant l'expression, ce qui permet d'avoir une version plus simple pour les calculs ultérieurs. Ensuite, l'auteur se concentre sur la démonstration que a_n est un nombre pair. Plutôt que de faire une table de congruence, l'auteur remarque que le produit de deux entiers consécutifs (n-1 et n) est toujours pair, car l'un des deux est toujours pair. Par conséquent, a_n est divisible par 2. Pour la question suivante, qui est de montrer que a_n est divisible par 3, l'auteur utilise le fait que n-1, n et n+1 sont trois entiers consécutifs, et donc l'un des trois est toujours un multiple de 3. Par conséquent, leur produit, a_n, est divisible par 3. Enfin, l'auteur utilise les congruences modulo 5 pour montrer que a_n est divisible par 5. En analysant les différentes valeurs possibles pour n modulo 5, l'auteur constate que le produit n*(n-1)*(n+1)*(n^2+1) est toujours congru à 0 modulo 5. Par conséquent, a_n est divisible par 5. En conclusion, l'auteur souligne l'importance d'investir dans une simplification préalable de l'expression, ce qui permet de faciliter les démonstrations ultérieures. L'auteur utilise également les propriétés des entiers consécutifs et des congruences modulo pour simplifier les calculs et parvenir rapidement aux résultats.