Reste de 5³ⁿ - 6ⁿ par 17 ?

Bonjour à tous, dans cet exercice sur les congruences, nous abordons un exemple de calcul de la division Euclidienne qui peut sembler complexe au premier abord. Il s'agit de trouver le reste de la division de 5 puissance 3n moins 6 puissance n par 17. Plutôt que de nous précipiter dans une table de congruence, nous prenons le temps de réfléchir à une approche plus simple. Nous pouvons examiner séparément les congruences de 5 puissance 3 et 6 puissance n modulo 17 pour essayer de déceler un schéma ou un cycle. Nous commençons par simplifier l'expression 5 puissance 3n en utilisant la propriété des puissances : 5 puissance 3n = (5 puissance 3) puissance n = 125 puissance n. Ensuite, nous utilisons la propriété de congruence pour simplifier modulo 17 en enlevant les multiples de 17. Par exemple, nous pouvons enlever 102 (puisque 17x3 = 51 et 51x2 = 102) et même un peu plus en enlevant 119 (102 + 17) car cela reste éloigné de 125. Ainsi, nous obtenons 125 congru à 6. En conclusion, 5 puissance 3n moins 6 puissance n est toujours congru à 0 modulo 17. Cela signifie que 17 divise toujours cette expression. J'espère que cette explication vous aura été utile. Je vous donne rendez-vous pour de nouvelles vidéos.