5²ⁿ, 2²ⁿ ... et des congruences !

Dans cet exercice de congruence, on nous demande de déterminer quand l'expression 2 puissance 2n + 2 puissance n + 1 est divisible par 7. Pour simplifier, nous remplaçons 2 puissance 2n par 4 puissance n et nous cherchons à comprendre le comportement de 4 puissance n et de 2 puissance n. Nous constatons que 4 puissance n suit un cycle : 4 puissance 1 est congruent à 4, 4 puissance 2 est congruent à 2, et 4 puissance 3 est congruent à 1. Donc, nous avons 4 puissance 3k qui est congruent à 1, 4 puissance 3k + 1 qui est congruent à 4, et 4 puissance 3k + 2 qui est congruent à 2. Quant à 2 puissance n, nous remarquons qu'elle suit également un cycle de taille 3 : 2 puissance 3 est congruent à 1, 2 puissance 3k + 1 est congruent à 2, et 2 puissance 3k + 2 est congruent à 4. En combinant ces résultats, nous concluons que pour tout entier n qui est égal à 3k, 3k + 1 ou 3k + 2, l'expression 2 puissance 2n + 2 puissance n + 1 est congruente à 3 modulo 7. En résumé, l'expression est divisible par 7 pour tous les entiers n qui ne sont pas multiples de 3 (c'est-à-dire les pairs et les entiers qui laissent un reste de 1 ou 2 lorsqu'ils sont divisés par 3).