Cours de Arithmétique en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Arithmétique

Division euclidienne

Bonjour, je m'appelle Paul et aujourd'hui je vais vous expliquer comment écrire la division euclidienne de -534 par 6. La division euclidienne est représentée par l'équation -534 = 6 * Q + R, où -534 est le dividende, 6 est le diviseur, Q est le quotient (qui peut être positif ou négatif) et R est le reste (qui est un entier compris entre 0 et 6). Pour trouver le quotient et le reste, nous allons effectuer la division. Nous prenons -53 comme premier nombre (en ignorant le signe "-") et nous le divisons par 6. Pour obtenir -53, nous devons multiplier 6 par -8 et ajouter 48. Il reste -5. Nous descendons ensuite le 4 pour obtenir -54 et nous multiplions 6 par -9 pour obtenir -54 également. Il ne reste plus rien, donc le quotient est -89 et le reste est 0. Ainsi, la division euclidienne de -534 par 6 donne -534 = -89 * 6 + 0. Il est important d'inclure le "+ 0" pour indiquer que le reste est effectivement 0. N'oubliez pas de bien comprendre et retenir cette écriture précise de la division euclidienne. Merci et à bientôt !

CAPITAL : Reste de 145²⁰²² par 7 ?

Exercice de congruence - Comprendre la méthode pour trouver le reste de 145 puissance 2022 dans la division par 7. Le professeur explique qu'il faut simplifier d'abord le nombre en utilisant la congruence, et ensuite étudier les différentes puissances de 5 pour trouver un cycle de restes. Il utilise la règle des puissances pour montrer qu'il y a bien un cycle qui se répète toutes les 6 puissances, et que cela permet de déterminer le reste pour toutes les puissances. Il explique également comment diviser les entiers en différentes familles en fonction de leur reste dans la division euclidienne, et comment trouver le reste de n'importe quelle puissance en fonction de sa congruence modulo 6. Finalement, il conclut que 145 puissance 2022 est congru à 1. Il souligne l'importance de bien comprendre cette méthode pour résoudre d'autres exercices de congruence et d'arithmétique, et invite les auditeurs à poser des questions s'ils en ont besoin.

Divisibilité et fraction

La fraction 35/(n-4) sera entière pour quelles valeurs de n (différentes de 4) ? Nous devons prendre en compte que n est un entier relatif. Pour résoudre ce problème, nous devons étudier les diviseurs de 35. Les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. Il y a aussi les diviseurs négatifs comme -35, -7, -5 et -1. Maintenant, nous devons vérifier si n-4 appartient à cet ensemble de diviseurs de 35. Donc nous devons vérifier si n-4 est égal à 1, 5 ou 7. Cela signifie que n peut prendre les valeurs suivantes : 5+4=9, 1+4=5, 7+4=11 pour les premiers diviseurs. Et -3+4=1, -1+4=3, -7+4=-3, -35+4=-31 pour les diviseurs négatifs. Il ne faut pas inclure 4 dans les solutions car la question spécifie que n est différent de 4. Donc les valeurs entières de n pour lesquelles la fraction sera entière sont 9, 5, 11, 3, -3, -1 et -31. J'espère que cela vous a aidé et à bientôt pour une prochaine vidéo.

Divisibilité de n⁵-n ?

Ce cours traite d'un exercice de mathématiques où l'on doit montrer que l'expression a^n = n^5 - n est divisible par différents nombres (pair, divisible par 3, divisible par 5, divisible par 30). L'auteur recommande de simplifier et factoriser l'expression dès le début pour faciliter les démonstrations. Il utilise ensuite des tables de congruence pour montrer que l'expression est bien divisible par les nombres demandés. Il fait également référence à un corollaire du théorème de Gauss pour montrer que l'expression est divisible par 30. L'auteur souligne l'importance d'investir du temps et de la réflexion dès le début de l'exercice afin de faciliter les démonstrations ultérieures.

Reste de 5³ⁿ - 6ⁿ par 17 ?

Dans cet exercice, nous devons trouver le reste de la division Euclidienne de 5 puissance 3n moins 6 puissance n par 17. Pour résoudre cela, nous pourrions créer une table de congruence pour 5 et une autre pour 6 pour comprendre quand ils sont congruents à quelque chose modulo 17. Cependant, il est important de prendre du recul et d'analyser séparément les deux parties de la différence pour voir s'il y a quelque chose de plus simple. Dans ce cas, nous pouvons simplifier 5 puissance 3n en utilisant la propriété selon laquelle si A est congruent à B, alors A puissance M est congruent à B puissance M. Ainsi, nous pouvons simplifier 5 puissance 3n en enlevant des paquets de 17. Par exemple, nous pouvons enlever 102 (17 x 6) de 125. Ensuite, nous pouvons enlever encore 17 pour obtenir 6. Donc, nous avons 5 puissance 3n congruent à 6 modulo 17. En soustrayant les deux parties de l'équation, nous obtenons que 5 puissance 3n moins 6 puissance n est congruent à 0 modulo 17. Cela signifie que 17 divise toujours cette expression. Ainsi, la réponse à la question est que le reste de la division Euclidienne de 5 puissance 3n moins 6 puissance n par 17 est toujours 0.

Un entier toujours impair ?

Le cours consiste en une démonstration mathématique pour montrer que pour tout nombre entier n, la quantité 3n^4 + 5n est impaire et donc n'est jamais divisible par (n)(n+1). Le cours explique qu'il est important d'utiliser des réflexes mathématiques pour résoudre ce genre d'exercice. Le professeur commence par rappeler que (n)(n+1) rappelle le cours sur les suites, où la somme des entiers jusqu'à n est égale à (n)(n+1)/2. Il dit que ce n'est pas vraiment utilisable ici mais c'est une information qu'il a en tête. Ensuite, il fait remarquer que (n)(n+1) est aussi un produit de deux nombres consécutifs, et que l'un d'entre eux est toujours pair. En utilisant cette information, il démontre que si (n)(n+1) divise (3n^4 + 5n), alors 2 divise n. Mais comme n est impair, cela signifie que (n)(n+1) ne divise jamais (3n^4 + 5n). Ensuite, le professeur se concentre sur le fait que (3n^4 + 5n) est impair et dit que cela lui dérange la partie +1 à la fin, donc il décide de démontrer que (3n^4 + 5n) est pair plutôt que impair. Il factorise la quantité et se demande s'il est possible de la décomposer en 2k. Il explique qu'il faut toujours penser à la première décomposition des k possibles pour un entier. Il commence par le cas où n est pair. Dans ce cas, (3n^4 + 5n) est pair et la démonstration est donc terminée. Ensuite, il examine le cas où n est impair et prend n congruent à 1 modulo 2 (ainsi, il reste 1 dans la division par 2). Dans ce cas, il montre que (3n^4 + 5n) est aussi congruent à 0 modulo 2, donc pair. Cela prouve que (3n^4 + 5n) est pair pour tous les nombres entiers n. En conclusion, le cours démontre que (3n^4 + 5n) est pair pour tous les nombres entiers n, et donc n'est jamais divisible par (n)(n+1). Le professeur rappelle également que (3n^4 + 5n+1) est toujours pair, mais que le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 6. Note : La transcription ne semble pas être parfaitement SEO friendly, car elle contient beaucoup de phrases longues et complexes, ainsi que des termes mathématiques qui peuvent ne pas être bien classés par les moteurs de recherche. Pour rendre le contenu plus SEO friendly, il faudrait le réorganiser en paragraphes plus courts et utiliser des termes couramment recherchés dans le domaine du SEO.

Piège à éviter : degré 2 !

Ce cours porte sur la résolution d'une équation polynomiale du deuxième degré avec des congruences. Pour trouver les solutions de l'équation x² + x ≡ 3 (mod 5), il est recommandé de simplifier en utilisant la notation n² + n au lieu de x² + x, afin de rendre l'énoncé moins déroutant. Ensuite, on utilise une table de congruences pour tester tous les différents cas possibles. On remarque qu'il n'y a pas de factorisation évidente pour cette équation, donc on continue avec la méthode habituelle de la table des congruences. En remplissant rapidement la table, on remarque que x² + x est congru à 0, 1 ou 2 pour tous les cas possibles de x congruent à 0, 1, 2, 3 ou 4. Aucun de ces cas ne donne une congruence à 3, donc il n'y a pas de solution pour cette équation. Il est important de souligner que la méthode de résolution n'est pas compliquée, mais peut sembler intimidante au premier abord. Il est donc important de prendre le temps de réfléchir et de suivre une démarche méthodique.

5²ⁿ, 2²ⁿ ... et des congruences !

Dans cet exercice de congruence, nous devons déterminer quand l'expression 145 puissance 2022 modulo 17 est divisible par 3. Pour cela, nous utilisons une méthode de gestion des cycles. Tout d'abord, nous remarquons que 5 puissance n est congruent à 2 modulo 3. Nous pouvons donc simplifier notre expression en remplaçant 5 puissance n par 2 puissance n. Ensuite, nous observons que 5 puissance 2n est congruent à 1 modulo 3. Nous pouvons donc dire que ce nombre est toujours congruent à 1. Pour la somme 5 puissance 2n + 5 puissance n + 1, nous obtenons 2 puissance n + 2. Nous étudions ensuite le comportement de 2 puissance n. Nous constatons que si n est pair, alors 2 puissance n est congruent à 1 modulo 3. De plus, 2 puissance 2k est congruent à 1 modulo 3 et 2 puissance 2k + 1 est congruent à 2 modulo 3. Ainsi, nous pouvons dire que pour n pair, 3 divise 5 puissance 2n + 5 puissance n + 1. Dans un deuxième exercice similaire, nous devons savoir quand 2 puissance 2n + 2 puissance n + 1 est divisible par 7. Nous utilisons la même méthode de gestion des cycles. Nous remplaçons 2 puissance 2n par 4 puissance n pour simplifier l'expression. Nous observons que 4 puissance 3k est congruent à 1 modulo 7. De plus, nous constatons que 2 puissance 3k est congruent à 1 modulo 7. Pour la somme 4 puissance n + 2 puissance n + 1, nous obtenons 3 modulo 7. Ainsi, nous pouvons dire que pour n congruent à 0, 1 ou 2 modulo 3, notre expression est divisible par 7. Ces méthodes utilisées dans ces exercices peuvent être appliquées à d'autres situations similaires.