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Dans cet exercice, nous voulons déterminer si les nombres 59 et 27 sont premiers entre eux, c'est-à-dire s'ils n'ont aucun diviseur en commun. Pour ce faire, nous devons examiner la décomposition en facteurs premiers de chacun des deux nombres et voir s'il existe un nombre premier commun dans cette décomposition. Commençons par le nombre 27. Nous pouvons le décomposer en 3 puissance 3, ce qui signifie que le seul nombre premier dans sa décomposition est 3. Cela signifie que si les nombres 59 et 27 ont un diviseur commun différent de 1, ce diviseur doit être un multiple de 3. Cependant, le nombre 3 ne divise pas le nombre 59. Pour vérifier cela, nous pouvons utiliser un critère de divisibilité, qui consiste à additionner les chiffres du nombre (dans ce cas, 5 et 9) et voir si le résultat est divisible par 3. Étant donné que 5 + 9 = 14, et que 14 n'est pas divisible par 3, nous pouvons donc conclure que 3 ne divise pas 59. Par conséquent, le PGCD (plus grand commun diviseur) des nombres 59 et 27 est égal à 1, ce qui signifie qu'ils sont premiers entre eux. C'est là la solution de cet exercice.

Équation diophantienne

Dans cet exercice, nous cherchons à résoudre l'équation diophantienne suivante : 13x + 9y = 2. Pour résoudre ce type d'équation, nous devons tout d'abord rappeler qu'elle a au moins une solution entière si et seulement si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des coefficients devant x et y divise le terme constant c. Dans notre cas, le PGCD de 9 et 13 est 1, car 13 est un nombre premier qui ne divise pas 9. Puisque 1 divise 2, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. La méthode consiste alors à trouver une solution particulière qui vérifie l'équation, puis à généraliser cette solution en ajoutant des coefficients. Pour trouver cette solution particulière, on peut soit la deviner, soit faire des tests. Une autre méthode est d'utiliser l'algorithme de Clyde pour trouver le PGCD, puis de multiplier la solution par le facteur nécessaire pour obtenir le nombre souhaité. Dans notre cas, nous savons déjà que 1 est une solution (d'après le théorème de Bézout), donc nous multiplions simplement cette solution par 2. Ainsi, nous obtenons une solution particulière qui est x = -4 et y = 6. Maintenant, nous souhaitons déterminer l'ensemble des solutions. Pour cela, nous utilisons la méthode suivante : x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier. Ces équations nous permettent de trouver toutes les solutions de l'équation diophantienne. En résumé, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. Une solution particulière est x = -4 et y = 6. L'ensemble des solutions est donné par les équations x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier.

Fraction irréductible

Dans cet exercice, nous démontrons que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible pour tout entier n. Pour cela, nous utilisons le fait qu'une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Nous rappelons également le théorème de Bézout qui stipule que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe u et v dans Z tels que au plus bv soit égal à 1. En utilisant ces concepts, nous arrivons à la conclusion que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible si et seulement si (9n + 1)u + (6n + 1)v est égal à 1 pour certains u et v dans Z. En développant cette expression, nous obtenons (n(9u + 6v) + (u + v)) = 1. Pour que cette égalité soit vraie pour tous les entiers n, nous devons avoir 9u + 6v = 0 et u + v = 1. Il est évident que u = -2 et v = 3 satisfont ces équations. Ainsi, nous concluons que (9n + 1) * 2 + (6n + 1) * 3 = 1, et selon le théorème de Bézout, ces nombres sont premiers entre eux. Par conséquent, la fraction est irréductible pour tout n.

Système congruences et Bezout

Dans cet exercice, nous devons résoudre un système de congruence en utilisant les équations de Dioff-Ancienne. Le système est le suivant : x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4). Pour résoudre ce système, nous utilisons l'équation 11u + 4v = 2, où u et v sont des entiers relatifs. En écrivant les conditions x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4) sous forme d'équations avec u et v, nous obtenons x = 1 + 11u et x = 3 + 4v. En simplifiant cette équation, nous obtenons 11u - 4v = 2, qui est l'équation diophantienne que nous devons résoudre. Pour résoudre cette équation diophantienne, nous vérifions d'abord si le PGCD des deux coefficients divise la constante (2). Dans ce cas, nous avons PGCD(11, 4) = 1, ce qui divise bien 2. Par conséquent, l'équation admet des solutions. En observant les coefficients de l'équation (11 et 4), nous remarquons que la solution particulière est -2 et -6. En multipliant cette solution particulière par 2 (puisque nous voulons 2), nous obtenons la solution -4u + 12v = 2. En généralisant cette solution, nous obtenons l'ensemble des solutions suivant : u = -2 - 4k et v = -6 + 11k, où k est un entier quelconque (Z). Ensuite, nous cherchons à trouver les solutions du système d'origine (x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4)) modulo 44. Pour cela, nous exprimons x en fonction de u et v (x = 1 + 11u). En remplaçant u par -2 - 4k, nous obtenons x = 23 + 44k. Ainsi, l'ensemble des solutions du système est x ≡ 23 (mod 44).

Coordonnées entières

Dans cet exercice, nous utilisons les équations diophantiennes pour déterminer si le point M appartient à la droite AB, en supposant que les coordonnées des points sont entières. Les coordonnées du point A sont (7,2) et celles du point B sont (-3,-4). Pour montrer que M appartient à la droite AB, nous devons montrer que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Les coordonnées du vecteur AM sont (x-7, y-2) et celles du vecteur AB sont (-10,-6). Nous savons que M appartient à la droite AB si et seulement si AM et AB sont colinéaires, ce qui signifie que leur produit en croix est égal. Ainsi, nous avons l'égalité : (-10)(y-2) = (-6)(x-7). En simplifiant cette équation, nous obtenons : 3(x-7) = 5(y-2), ce qui est l'égalité que nous devions retrouver. Donc, M appartient à B si et seulement si cette égalité est vérifiée. Pour déterminer l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite AB, nous transformons cette égalité en une équation diophantienne. Après simplification, l'équation devient : 3x-5y = 11. Une équation diophantienne a des solutions si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des deux coefficients divise le terme constant. Dans ce cas, le PGCD de 3 et 5 est 1, ce qui divise 11. Ensuite, nous trouvons une solution particulière pour cette équation. Dans ce cas, une solution particulière est (7, 2). Nous pourrions également prendre (2, -1), mais nous préférons des nombres positifs. Finalement, l'ensemble des solutions est donné par les équations : x = 5k + 7 et y = 3k + 2, où k est un entier. Ces équations représentent l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite AB.

√2 est irrationnel : démo

Dans cet exercice, nous allons prouver que la racine de 2 est un nombre irrationnel en utilisant la méthode du raisonnement par l'absurde. Nous supposons que la racine de 2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme P/Q, où P et Q sont des nombres entiers premiers entre eux. Nous effectuons quelques calculs et arrivons à la conclusion que P au carré est égal à 2Q. Comme P au carré est pair, cela signifie que P est pair. En remplaçant P par 2K, nous obtenons que 4K au carré est égal à 2Q au carré, et simplifiant cette équation, nous obtenons que Q au carré est égal à 2K au carré. Cela implique que Q au carré est pair, donc Q est pair également. Cependant, cela contredit le fait que P et Q soient premiers entre eux, car ils sont tous les deux divisibles par 2. Nous arrivons donc à une contradiction, ce qui signifie que notre supposition de départ selon laquelle la racine de 2 est un nombre rationnel est fausse. Ainsi, nous pouvons conclure que la racine de 2 est un nombre irrationnel.

Solutions entières et récurrence

Dans cet exercice, nous devons résoudre une équation diophantienne en nous restreignant aux solutions positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il existe au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il existe au moins une solution. Pour cela, nous constatons que si y est différent de 0, nous dépassons la valeur de S, donc y doit être égal à 0. Ensuite, en examinant les valeurs possibles pour x, nous trouvons les solutions 0, 1 et 2. Ainsi, les valeurs possibles pour S dans cette plage sont 0, 2 et 4. Ensuite, nous devons prouver par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N². Nous faisons une initialisation en montrant que pour S = 4, il existe une solution. Ensuite, nous supposons qu'il existe un S tel que l'équation admette une solution et nous devons montrer que S + 1 admet également une solution. En utilisant l'équation de Bézout, nous parvenons à représenter S + 1 comme une combinaison linéaire de 2x et 5y. En distinguant les cas où y = 0 et y ≥ 1, nous montrons que l'équation admet une solution dans N² pour tout S ≥ 4. En conclusion, cet exercice démontre comment résoudre une équation diophantienne en restreignant les solutions aux nombres positifs et utilise la récurrence pour prouver l'existence de solutions pour certaines valeurs de S.