Cours de Structures Algébriques en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Structures Algébriques

Groupe Symétrique

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des matrices et des anneaux. Il commence par rappeler ce qu'est un anneau, qui est un ensemble muni de deux lois de composition interne (l'addition et la multiplication) satisfaisant certaines propriétés. Il explique ensuite ce qu'est un sous-anneau, qui est un sous-ensemble d'un anneau plus grand ayant les mêmes lois de composition interne. Corentin montre alors que l'ensemble A, qui est l'ensemble des matrices dont les coefficients sont des entiers naturels, est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) des matrices 2x2 à coefficients réels. Il prouve cela en montrant que l'addition et la multiplication de matrices dans A restent dans A. Il termine en vérifiant que la matrice identité appartient également à A. Ensuite, Corentin aborde la question des éléments inversibles de A. Une matrice M est dite inversible si elle possède une matrice inverse M' telle que le produit de M par M' soit égal à la matrice identité. Il montre que les matrices inversibles de A sont celles pour lesquelles la matrice M est égale à 1 ou à -1. Il explique cela en utilisant l'identification des coefficients des matrices et en effectuant des calculs matriciels. En conclusion, Corentin démontre que l'ensemble A est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) et détermine les éléments inversibles de A.

Etude de permutations

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet de l'arithmétique et de la structure algébrique. Il commence par définir l'ensemble A, qui est l'ensemble des rationnels ayant un dénominateur impair. L'objectif est de démontrer que A, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, forme un anneau. Pour montrer cela, Corentin montre que A est un sous-anneau de l'ensemble des rationnels (Q). Il le fait en montrant que pour tout X et Y appartenant à A, la différence (X - Y) et le produit (X * Y) appartiennent également à A. Pour cela, il utilise le fait que le dénominateur des fractions obtenues reste impair. Corentin montre également que l'élément neutre (1) appartient à A, car il est égal à 1/1, où le dénominateur est impair. Ensuite, Corentin cherche à déterminer les éléments inversibles de A. Soit X appartenant à A, il cherche un élément Y qui serait son inverse. Il montre que Y serait égal à 1/X. Cependant, la difficulté réside dans le fait de déterminer si cet inverse Y appartient toujours à A, qui n'est pas un ensemble aussi simple que les ensembles R et Q. En menant des calculs, Corentin trouve que pour que Y appartienne à A, il faut que X soit un nombre impair. En résumé, les éléments inversibles de A sont de la forme M/N, où M est un nombre impair, N est un nombre entier non nul, et les deux M et N sont impairs.

Anneaux, éléments nilpotents

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des morphismes d'anneaux et explique comment démontrer que si X appartient à K privé de 0, alors F(X) est inversible, et comment déterminer son inverse. Il souhaite également montrer que tout morphisme de corps est toujours injectif. Un morphisme d'anneaux est défini comme une application qui vérifie certaines propriétés, telles que F(X+Y) = F(X) + F(Y) et F(X*Y) = F(X) * F(Y). Ensuite, en se basant sur le fait que K est un corps, Corentin montre que X est inversible car il existe X-1 tel que X*X-1 = 1 sur K. En composant les deux côtés par F, il sépare X et -1 en utilisant les propriétés du morphisme d'anneaux, et conclut que F(X) est inversible avec pour inverse F(X-1). Dans la deuxième partie, Corentin rappelle une propriété importante : pour qu'un morphisme de corps soit injectif, son noyau doit être réduit à 0. Il suppose donc que F(X) = 0 et montre que cela signifie que X est égal à 0K, ce qui prouve que F est injectif. En résumé, Corentin explique comment démontrer que F(X) est inversible et comment trouver son inverse lorsqu'on a un morphisme d'anneaux allant de K dans L. Il montre également que tout morphisme de corps est injectif en utilisant une propriété sur le noyau.

Exemple d’anneau

Aujourd'hui, nous avons un exercice sur la démonstration que Q (les nombres rationnels) n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. Pour prouver cela, nous utilisons une double inclusion. Tout d'abord, nous montrons que Q est inclus dans tout sous-corps K de Q. Puisque K est un sous-corps de Q, nous savons que 0 et 1 appartiennent à K, et K est stable par addition et multiplication. Donc, pour tout entier naturel n, n appartient à K, et l'ensemble des entiers relatifs est également inclus dans K. Ensuite, nous considérons X appartenant à Q privé de 0. Nous montrons que X peut s'écrire comme P/Q, avec P et Q appartenant à K. Puisque K est un corps, 1/Q appartient également à K. Par conséquent, P * (1/Q) appartient à K, ce qui signifie que X appartient à K. De plus, nous savons que 0 appartient à K. Ainsi, nous avons montré que Q est inclus dans K et vice versa. Par conséquent, il n'existe pas d'autres sous-corps que Q pour Q lui-même. Merci à tous.

Anneaux d’entiers

Le sujet de cette vidéo est la démonstration que l'ensemble Z racine de 2, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un anneau. Pour cela, l'orateur rappelle la définition d'un sous-anneau et montre que Z racine de 2 en est bien un. Ensuite, il introduit une fonction, n, associée à la transformation d'un élément de Z racine de 2 en une expression algébrique, et démontre que cette fonction est multiplicative. En utilisant cette propriété, il parvient à trouver les éléments inversibles de Z racine de 2, à savoir ceux qui s'écrivent A plus B racine de 2 avec A carré moins 2B carré égal à plus ou moins 1. En conclusion, l'orateur souligne l'importance de la méthode d'analyse synthèse dans la recherche des inversibles et rappelle l'efficacité de cette approche pour réussir un concours.

Groupe Symétrique

Dans cette vidéo, Corentin explique le concept d'un anneau de matrices et détermine les éléments inversibles de cet anneau. Un anneau est un ensemble muni de deux opérations, l'addition et la multiplication, qui doivent satisfaire certaines propriétés. Corentin commence par rappeler la définition d'un anneau et d'un sous-anneau. Un sous-anneau est un sous-ensemble d'un anneau plus grand qui possède les mêmes opérations et satisfait les mêmes propriétés. Ensuite, Corentin montre que l'ensemble A est un sous-anneau de M2 de R, c'est-à-dire l'ensemble des matrices 2x2 avec des coefficients réels. Il montre cela en effectuant des calculs pour l'addition et la multiplication de deux matrices quelconques de A. Il conclut que la matrice identité appartient également à A. Enfin, Corentin aborde la deuxième question de déterminer les éléments inversibles de A. Il suppose l'existence d'une matrice inversible M et trouve son inverse M'. En utilisant les propriétés de l'égalité des matrices, il montre que M doit être égal à 1 ou à -1. Il conclut que les éléments inversibles de A sont ceux où M est égal à 1 ou à -1. En résumé, cette vidéo explique le concept d'un anneau de matrices et détermine les éléments inversibles de cet anneau en effectuant des calculs et en utilisant les propriétés des matrices.

Etude de permutations

Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice de mathématiques portant sur l'arithmétique et les structures algébriques. L'objectif est de démontrer qu'un certain ensemble, noté A, est un anneau, et de déterminer ses éléments inversibles. Au départ, Corentin souhaite montrer rapidement que A est un sous-anneau de Q (les nombres rationnels). Pour cela, il considère deux éléments X et Y appartenant à A et calcule X - Y et X * Y. Il démontre que les dénominateurs de ces opérations sont impairs, ce qui montre que ces opérations sont stables dans A. Ensuite, Corentin prouve que l'élément 1 appartient à A, car il peut être exprimé comme une fraction à dénominateur impair. Il conclut donc que A est bien un sous-anneau de Q, donc un anneau. Enfin, Corentin s'intéresse aux éléments inversibles de A. Il considère un élément X appartenant à A et cherche son inverse Y. Il montre, en utilisant des calculs dans R (les nombres réels), que Y doit être égal à 1/X. La difficulté réside dans le fait de déterminer si cette inverse Y appartient toujours à A, qui est un ensemble de fractions à dénominateur impair. Après quelques calculs, Corentin trouve la condition nécessaire pour qu'un élément X appartenant à A ait un inverse Y dans A : X doit être une fraction M/N, où M et N sont des nombres impairs. Pour résumer, les éléments de A sont des fractions à dénominateur impair, ce qui en fait un sous-anneau de Q. Les éléments inversibles de A sont les fractions ayant un numérateur impair et un dénominateur impair, représentées par M/N où M et N sont des nombres impairs.

Anneaux, éléments nilpotents

Dans cette vidéo, Corentin aborde le concept de morphismes d'anneaux et démontre deux résultats. Tout d'abord, il montre que si K et L sont deux corps et F est un morphisme d'anneaux de K dans L, alors pour tout X appartenant à K privé de 0, F de X est inversible. Il explique ensuite comment déterminer l'inverse de F de X. Ensuite, Corentin souhaite montrer que tout morphisme de corps est injectif. Il rappelle une propriété selon laquelle un morphisme de corps est injectif si son noyau est réduit à 0. Il démontre alors que si F de X est égal à 0, alors X est égal à 0, ce qui montre que le noyau de F est réduit à 0 et donc que F est injectif.

Exemple d’anneau

Dans ce cours, Corentin explique comment démontrer qu'un ensemble Q n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. Pour cela, il utilise une double inclusion. Dans un premier temps, il montre que Q est inclus dans le sous-corps K en invoquant le fait que K est un sous-corps de Q, donc 0, 1 et tous les entiers naturels appartiennent à K. Il utilise également la stabilité de K par les opérations de plus et de passage à l'opposé pour montrer que l'ensemble des entiers relatifs est inclus dans K. Ensuite, en prenant un X appartenant à Q privé de 0, il démontre que ce X appartient à K en utilisant une écriture de X comme une fraction avec le numérateur P appartenant à Z et le dénominateur Q appartenant à N*. Puisque K est un corps, 1/Q appartient à K, ce qui implique que X appartient à K par stabilité par le produit. Ainsi, il montre que tous les éléments de Q privé de 0 appartiennent à K, en plus de 0 qui appartient déjà à K. Par conséquent, Q est inclus dans K. En combinant cette inclusion avec l'inclusion réciproque qui découle du fait que K est un sous-corps, on conclut que K est égal à Q. Ainsi, Q n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même.