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Révisions Maths lycée
Analyse Terminale
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Équation Tangente
Dans ce cours, nous abordons la méthode de détermination des équations de tangentes, qui est une étape importante dans l'étude des fonctions. Il est essentiel de maîtriser cette méthode car elle est souvent utilisée dans les exercices où l'on doit étudier les tangentes et la position relative de la courbe par rapport à la tangente.
Dans le premier exercice, nous devons étudier une fonction f, qui est égale à x^2 + 3x + 1. On nous demande de calculer f'(2) et f(2). Nous trouvons que f(2) = 11 et f'(2) = 7. En utilisant la formule y = f'(A) * (x - A) + f(A), où A est égal à 2, nous obtenons l'équation de la tangente, qui est y = 7x + 3.
Ensuite, nous approfondissons la formule utilisée pour déterminer l'équation de la tangente. Nous démontrons que cette formule est simplement une équation de droite, y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p est l'ordonnée à l'origine. En utilisant la connaissance de la tangente au point A, nous pouvons déduire que m = f'(A). Ensuite, en utilisant les coordonnées du point A, nous pouvons trouver p = f(A) - Af'(A). En regroupant ces résultats, nous obtenons l'équation de la tangente.
Dans le deuxième exercice, nous devons étudier une nouvelle fonction g, qui est égale à e^x. On nous demande de trouver l'équation de la tangente à la courbe de g au point tapis 0. En calculant g'(0) = 1 et g(0) = 1, nous trouvons que l'équation de la tangente est y = x + 1.
Il est important de bien maîtriser cette méthode car elle est fréquemment utilisée lors de l'étude des fonctions.
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Analyse Terminale
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Formules Classiques
La dérivation est un rappel important en mathématiques. Il est essentiel de connaître parfaitement les formules de dérivation pour éviter des erreurs qui peuvent avoir un impact négatif sur les résultats d'un contrôle ou d'un examen. Il est donc crucial de s'assurer de la maîtrise de ces formules.
Quelques exemples sont donnés pour illustrer l'utilisation des formules de dérivation. La dérivée de la fonction f(x) = 5x³ est 15x². Pour la fonction g(x) = (x^n)√(x), la dérivée est (n+1)x^(n-1) + (2/n)√(x). Pour la fonction h(x) = 1/v, la dérivée est -v'(x)/v², où v'(x) est la dérivée de v(x).
Ensuite, l'utilisation des formules de dérivation est expliquée pour les cas du produit (u v) et du quotient (u/v). Pour le produit, la dérivée est u'v + uv'. Pour le quotient, la dérivée est (u'v - uv')/v².
Des conseils méthodologiques sont donnés pour simplifier les calculs lors de la dérivation. Par exemple, le regroupement des termes de même degré est recommandé pour éviter des erreurs. Il est également utile d'utiliser des codes de couleur ou tout autre système de repérage pour faciliter la lecture et éviter d'oublier des termes importants.
En conclusion, il est crucial de maîtriser les formules de dérivation et de les réviser régulièrement pour éviter des erreurs dans les calculs. Des méthodes méthodologiques, telles que le regroupement des termes de même degré, peuvent être utilisées pour éviter des oublis et des erreurs dans les calculs.
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Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Polynômes 2nd Degré
Dans ce cours, on s'intéresse à l'étude d'un polynôme de degré 2. On cherche à aller plus vite que lors d'une étude classique de fonction. On commence par justifier l'ensemble de dérivabilité du polynôme, puis on calcule sa dérivée en utilisant les formules usuelles. On factorise si possible pour faciliter l'étude du signe de la dérivée. Ensuite, on déduit le tableau de variation en déterminant quand la dérivée change de signe. On calcule ensuite l'image au niveau de l'extremum qui est atteint en -b/2a. On sait déjà comment se comporte un polynôme de degré 2 grâce à la forme générale ax²+bx+c. Si a est positif, la courbe est en forme de "u" avec un minimum, et si a est négatif, la courbe est en forme de "n" avec un maximum. On peut utiliser ces informations pour aller plus vite dans l'étude du polynôme. On peut également utiliser les résultats classiques sur les polynômes de degré 2 pour trouver les coordonnées de l'extremum, l'ordonnée de l'extremum (-delta/4a), et les racines (-b+racine(delta)/2a et -b-racine(delta)/2a). Il est également important de remarquer que le minimum est au centre du polynôme et que les racines sont situées à égale distance du centre. Cette astuce permet de rapidement retrouver les résultats et de déduire le sens de variation et le signe de la fonction.
Révisions Maths lycée
Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !
Ce cours porte sur l'étude d'une famille de fonctions, notées f1, f2, etc., définies par f(x) = E(2x) / (x^n), où n est un entier naturel non nul. Le cours commence par déterminer le plus grand ensemble de définition de f, en excluant les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul. Ensuite, il est expliqué que f est dérivable sur tout son ensemble de définition, à l'exception de la valeur 0. Ensuite, le cours se concentre sur le cas où n est pair. On utilise la règle du produit et le comportement des puissances paires pour déterminer les variations de f, et on dresse le tableau de variation de f. Ensuite, les limites de f sont calculées en l'infini et en 0, et complétées dans le tableau de variation. Si n est impair, le comportement de f est différent. Les variations de f sont étudiées en utilisant le même raisonnement, et les limites en l'infini et en 0 sont calculées et ajoutées au tableau de variation. Le cours souligne également que l'étude de cas est essentielle dans l'exercice, en notant que les calculs seraient beaucoup plus difficiles sans la distinction entre n pair et n impair.
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Analyse Terminale
BCPST
Équation Tangente
Dans ce cours, nous étudions les équations de tangente, un concept classique en mathématiques. Il est important de bien le maîtriser car il apparaît souvent dans les exercices d'étude de fonction, notamment pour déterminer la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente. Dans cet exercice, nous devons étudier une fonction f définie par f(x)=x²+3x+1 et calculer f'(2) et f(2). Nous trouvons f(2)=11 et f'(2)=7. En utilisant la formule y=f'(A)x+f(A), où A=2, nous déduisons l'équation de la tangente, qui est y=7x+3. Nous expliquons aussi brièvement l'origine de cette formule, qui provient de la définition d'une tangente en tant que droite passant par le point de tangence et ayant une pente égale à celle de la dérivée au point A. Dans la deuxième partie de l'exercice, nous étudions une nouvelle fonction g définie par g(x)=e^x et nous voulons déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. En utilisant la même formule, nous trouvons que l'équation de la tangente en 0 est y=x+1. Cette méthode de détermination des équations de tangente est essentielle à maîtriser car elle est fréquemment utilisée lors des études de fonction.
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Analyse Terminale
BCPST
Formules Classiques
Ce cours est une transcription d'une vidéo qui donne des rappels sur la dérivation en mathématiques. Il insiste sur l'importance de bien connaître les formules de dérivation, car des erreurs sur ces formules peuvent avoir un impact important lors d'un contrôle ou d'un examen. Quelques exemples sont donnés pour illustrer les différentes formules de dérivation. Il est recommandé de toujours être sûr de ses formules, car le stress et le manque de temps peuvent favoriser les erreurs. Les formules pour les fonctions x^n, racine de x, 1/v, le produit de deux fonctions, et u/v sont détaillées. Des conseils méthodologiques sont également donnés, comme laisser les expressions sous forme semi-développée pour faciliter la factorisation, ou utiliser des codes de couleur pour repérer les termes de même degré lors du regroupement des termes. Il est rappelé l'importance de bien maîtriser les formules de dérivation et de les apprendre pour éviter les erreurs.
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Analyse Terminale
BCPST
Polynômes 2nd Degré
Dans cette vidéo, nous étudions une méthode rapide pour étudier un polynôme de degré 2, plus spécifiquement le cas du polynôme de second degré que nous avons étudié depuis la seconde. Nous expliquons que cette méthode permet d'aller plus vite que la méthode classique d'étude de fonction.
Tout d'abord, nous dérivons la fonction f, en utilisant les formules usuelles, ce qui nous donne f'(x) = 4x - 8. Nous remarquons qu'il est possible de factoriser par 4, ce qui nous donne f'(x) = 4(x - 2). En observant cela, nous pouvons immédiatement déterminer les changements de signe de f'(x).
Nous constatons que le signe de f'(x) change en x=2. Lorsque x est supérieur à 2, f'(x) est positif, et lorsque x est inférieur à 2, f'(x) est négatif. Grâce à cela, nous sommes en mesure de déduire le tableau de variation de f'(x), qui est d'abord décroissante puis croissante.
Ensuite, nous calculons l'image de l'extremum de la fonction, qui est un minimum, en utilisant la formule classique -b/2a. Nous obtenons f(2) = 7, ce qui correspond au résultat que nous avions précédemment trouvé.
Nous expliquons également une astuce pour aller plus vite dans l'étude d'un polynôme de degré 2. Nous rappelons que ce type de polynôme s'écrit toujours sous la forme ax²+bx+c. Nous utilisons ensuite la formule -b/2a pour déterminer les coordonnées de l'extremum. En examinant le signe de a, nous pouvons déterminer s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. Dans notre cas, a étant positif, nous savons que l'extremum est un minimum.
Nous mentionnons également que nous pouvons utiliser ces résultats pour déterminer le signe de f, en utilisant la formule -b/2a pour l'abscisse de l'extremum et -Δ/4a pour l'ordonnée de l'extremum. Nous rappelons également les formules pour les racines du polynôme, -b+√Δ/2a et -b-√Δ/2a.
En conclusion, cette méthode permet d'étudier rapidement les polynômes de degré 2 en utilisant des formules classiques. Elle permet de déterminer le sens de variation, le signe de la fonction et les coordonnées de l'extremum. Cette astuce peut être utile pour gagner du temps lors de l'étude de ces polynômes.
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Analyse Terminale
BCPST
Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !
Ce cours porte sur l'étude d'une famille de fonctions de la forme f(x) = E(2x) / (x^n), où n est un entier naturel non nul. On explore le comportement de ces fonctions et on se pose différentes questions sur leur domaine de définition et de dérivabilité, ainsi que sur leur variation en fonction de la parité de n.
Tout d'abord, on détermine le plus grand ensemble de définition possible pour f, en évitant les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est nul. Ensuite, on constate que f est dérivable sur tout son ensemble de définition, car elle est le produit d'une exponentielle et d'une fraction de polynôme, sans problème particulier de dérivabilité.
En supposant que n est pair, on nous demande de dresser le tableau de variation de f sans préciser les limites aux bornes. Pour cela, on réécrit f(x) en utilisant la règle de dérivation, puis on factorise certains termes. On étudie ensuite le signe de x^n - 1 pour déterminer les changements de signe de la dérivée. En utilisant ces informations, on peut tracer le tableau de variation de f et calculer les limites de f(x) en plus l'infini et en moins l'infini, ainsi qu'en 0 plus et 0 moins.
Ensuite, on suppose que n est impair et on fait de même pour dresser le tableau de variation de f. La différence avec le cas précédent est que tous les termes de f(x) sont positifs, sauf x^n - 1 qui change de signe. On calcule alors les limites de f(x) en plus l'infini, en moins l'infini, en 0 plus et 0 moins, en prenant en compte les valeurs de x^n et de x^n - 1, ce qui donne des résultats différents du cas précédent.
En résumé, ce cours explique comment étudier une famille de fonctions en fonction de la parité de l'entier n, en déterminant leur domaine de définition, leur dérivabilité, leur tableau de variation et leurs limites aux bornes. La division des cas en fonction de la parité de n est essentielle pour comprendre le comportement de ces fonctions.
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Analyse Terminale
ECG
Équation Tangente
Ce cours porte sur la détermination d'équations de tangentes, une méthode classique en mathématiques. Dans cet exercice, on nous propose d'étudier une fonction f, qui est x au carré plus 3x plus 1, et de calculer f'(2) et f(2). Nous calculons f(2) qui donne 11, en justifiant la dérivabilité de f sur R. Nous trouvons également que f'(2) égale 7. En utilisant la formule y = f'(A) * (x - A) + f(A), où A = 2, nous obtenons l'équation de la tangente, y = 7x + 3.
Il est intéressant de comprendre d'où vient cette formule, qui est en réalité une équation de droite de la forme y = mx + p. En connaissant les coordonnées du point A et la pente de la dérivée en A, on peut trouver les valeurs de m et p. Ainsi, m = f'(A) et p = f(A) - Af'(A). En factorisant cette équation, on obtient y = f'(A) * x + f(A).
Dans la seconde partie de l'exercice, on nous demande de trouver l'équation de la tangente au point (0,1) de la fonction g(x) = e^x. En utilisant la formule précédente avec A = 0, on obtient l'équation de la tangente y = x + 1.
Il est important de maîtriser cette méthode car elle est fréquemment utilisée lors des études de fonctions.
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Analyse Terminale
ECG
Formules Classiques
Dans ce cours, nous faisons quelques rappels sur la dérivation en mathématiques. Il est important de connaître les formules de dérivation parfaitement, car des erreurs sur ces formules peuvent avoir un impact important lors d'un contrôle ou d'un examen. Pour éviter les erreurs, il est conseillé d'être sûr de ses formules.
Ensuite, nous traitons rapidement quelques exemples pour bien comprendre le processus de dérivation. Par exemple, la dérivée de la fonction 5x³ est 15x². La dérivée de la fonction x^(n+4)√x est 6x + 2/√x. La dérivée de la fonction 1/v est -v'(x)/v², où v'(x) représente la dérivée de v(x).
Ensuite, nous abordons le produit UV, où U représente 3x²+4x et V représente 5x. La dérivée de UV est U'V + UV'. Dans ce cas, nous développons l'expression et ne pouvons pas la factoriser.
Enfin, nous traitons le cas particulier de U/V, où U représente 6x-5 et V représente x³-2x²-1. La dérivée de U/V est (U'V - UV')/V².
Il est recommandé d'avoir une méthode systématique pour simplifier les expressions lors des calculs afin d'éviter les erreurs. Par exemple, en utilisant des codes couleur ou en identifiant les termes de même degré, on peut faciliter la simplification des expressions. Il est également conseillé de consulter une fiche de dérivations pour revoir les formules et les comprendre clairement.
En résumé, il est essentiel de connaître les formules de dérivation et de les maîtriser parfaitement. Une fois que vous les connaissez, vous pouvez les utiliser correctement dans vos calculs.
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ECG
Polynômes 2nd Degré
Ce cours porte sur l'étude d'un polynôme de degré 2, plus précisément celui que vous avez étudié depuis la seconde. L'objectif est d'explorer une méthode plus rapide que l'étude classique de fonction. On commence par justifier l'ensemble de dérivabilité de la fonction, puis on calcule sa dérivée en utilisant les formules usuelles. Ensuite, on utilise une astuce pour étudier le signe de la dérivée plus rapidement, en factorisant le polynôme. On déduit ainsi le tableau de variation de la fonction. On peut également calculer l'image au niveau de l'extrémum, qui est ici un minimum.
Pour aller encore plus vite, on peut utiliser une autre astuce spécifique aux polynômes de degré 2. On sait que ces polynômes s'écrivent toujours sous la forme ax²+bx+c, et on peut utiliser la formule –b/2a pour trouver les coordonnées de l'extrémum. En observant le signe de a, on peut déterminer si c'est un minimum ou un maximum. On n'a pas besoin de dériver la fonction pour cela. On peut également utiliser les résultats classiques sur les polynômes de degré 2 pour trouver les coordonnées de l'extrémum, l'ordonnée de l'extrémum et les racines.
Cette méthode permet d'obtenir rapidement les résultats sur les polynômes de degré 2. Cela peut être utile si vous tombez sur ce type de polynôme dans vos exercices. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.
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Analyse Terminale
ECG
Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !
Ce cours traite de l'étude d'une fonction E2x/x^n, où n est un entier naturel non nul. On commence par analyser une famille de fonctions dépendant de l'entier n, telles que f1 = E2x/x^1, f2 = E2x/x^2, etc. On détermine que le plus grand ensemble de définition possible pour f est tout sauf lorsqu'on divise par zéro. En ce qui concerne la dérivabilité, f est dérivable sur tout son ensemble de définition. On suppose ensuite que n est pair, et on dresse le tableau de variation de f sans préciser les limites aux bornes. On observe que le signe de la dérivée f' est positif strict puisque tous les termes sont positifs. On calcule ensuite les limites de f en l'infini, en -infini et en 0, en utilisant les propriétés de croissance comparée et en prenant en compte les termes de la fonction. Enfin, on réalise une étude similaire pour le cas où n est impair, en observant cette fois-ci que le signe de la dérivée f' change à la valeur 2p+1. Les limites de f en l'infini sont les mêmes que dans le cas précédent, mais les limites en 0 varient en fonction de la parité de n.
