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Introduction à la récurrence

Le cours introduit le principe de la méthode de démonstration par récurrence en expliquant son application aux propriétés dépendant de n. L'exemple utilisé est la formule de la somme des n entiers consécutifs. La démonstration par récurrence permet de prouver une formule dont on a déjà une intuition, en montrant que si elle est vraie à un certain rang, elle est également vraie au rang suivant. Cependant, il est important d'avoir une initialisation, c'est-à-dire un rang où la propriété est déjà vraie. Le cours propose également trois points à retenir : le principe général de la récurrence, l'initialisation qui peut commencer à un rang autre que n=0, et une inégalité classique appelée l'inégalité de Bernoulli qui peut être démontrée par récurrence. En ce qui concerne les méthodes, il est recommandé d'appliquer la récurrence aux suites, de démontrer une formule générale à partir de quelques termes connus, et de pratiquer différentes stratégies pour montrer la transmission de la propriété d'un rang à l'autre.

Concept et rédaction

Dans cette première vidéo de cours sur la récurrence, l'enseignant aborde plusieurs points importants en matière de rédaction, d'initialisation et d'erreurs à éviter. La récurrence est une méthode de démonstration utilisée en mathématiques pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers. Pour ce faire, on démontre d'abord que la propriété est vraie pour un entier donné, puis on montre que si elle est vraie pour un certain entier, elle est également vraie pour l'entier suivant. Ainsi, en combinant cette "pichenette initiale" et cette "transmission", la propriété est vraie pour tous les entiers. Il est primordial de conclure la démonstration en mentionnant que la propriété est vraie pour tout entier. Omettre cette conclusion peut entraîner une perte de points dans l'évaluation. L'enseignant souligne l'importance de cette phrase de conclusion, en indiquant que certains professeurs pourraient même attribuer une note de zéro si elle est absente. L'enseignant remarque également que dans environ 10% des exercices, la démonstration par récurrence commence par un entier différent de zéro, comme 3 ou 4. Il insiste sur le fait que le principe reste le même dans ces cas-là. Un exemple concret de démonstration par récurrence est présenté à travers une suite numérique. L'enseignant explique les différentes étapes de la démonstration, de l'initialisation à l'hérédité en passant par la conclusion. Il rappelle aux élèves de s'adapter aux exigences de leur professeur en termes de rédaction. En conclusion, cette vidéo met en évidence l'importance de la rédaction, de l'initialisation et de la conclusion dans la démonstration par récurrence. Elle rappelle aux élèves d'être attentifs aux spécificités de chaque exercice et de suivre les indications de leur professeur pour obtenir de bons résultats.

Pourquoi l'initialisation ?

Dans cette vidéo, l'importance de l'initialisation dans le domaine de la PitchNet est discutée. Bien que l'hérédité soit généralement considérée comme l'aspect le plus important, l'initialisation ne doit pas être négligée. Un exemple est donné pour illustrer cette importance. Le sujet abordé est la propriété P2N, qui affirme que 2 puissance N est divisible par 3. En réalité, 2 puissance N n'est pas divisible par 3, mais cette propriété peut être transmise. Il est démontré que si cette propriété est vraie pour un instant N, elle sera également vraie pour l'instant N+1. Cependant, il est souligné qu'il peut être difficile de trouver une initialisation pour cette propriété, ce qui justifie l'importance de l'initialisation dans la pratique. Cette vidéo bonus conclut en rappelant l'importance de faire l'initialisation correctement dans chaque situation.

Inégalité de Bernoulli : visuel

Dans cette vidéo, le professeur cherche à expliquer graphiquement l'inégalité de Bernoulli. Il explique que cette inégalité peut être démontrée grâce au principe de récurrence. Pour mieux comprendre cette formule, il propose une simulation où il compare deux fonctions: une exponentielle et une affine. Il montre que l'exponentielle monte beaucoup plus vite que la fonction affine, ce qui justifie l'inégalité de Bernoulli. Il souligne que cette inégalité est valable pour toutes les valeurs positives de A et pour toutes les valeurs de N. Il précise également que l'inégalité est vérifiée pour les entiers 0 et 1. Il encourage les spectateurs à poser des questions et à utiliser la simulation pour mieux comprendre cette inégalité.

Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une technique utilisée en mathématiques pour prouver une propriété P(n) qui est vraie pour tous les entiers naturels n. Dans cette transcription d'une vidéo, nous avons un exemple de démonstration par récurrence pour prouver que la suite donnée est strictement décroissante. Pour commencer, nous définissons P(2n) comme la propriété qui est vraie au rang n dans la démonstration par récurrence. Dans ce cas, nous voulons montrer que Un+1 est plus petit que Un. Il est important de noter que la propriété de récurrence, P(2n), n'inclut pas la mention "pour tout n" car elle est seulement vraie pour un rang spécifique. Nous commençons par l'initialisation, c'est-à-dire montrer que la propriété est vraie pour le premier rang (n=0). Ensuite, nous passons à l'hérédité, où nous assumons que la propriété est vraie au rang n et essayons de montrer qu'elle est également vraie au rang n+1. Dans cet exemple, nous utilisons une relation de récurrence pour montrer l'hérédité. Nous posons la fonction f(x) = 2x - 6 et utilisons le fait que cette fonction est strictement croissante. En utilisant cette fonction, nous pouvons montrer que Un+2 est plus petit que Un+1 en composant f(Un) et f(Un+1). En conclusion, en utilisant le principe de récurrence, nous avons prouvé que pour tout entier naturel n, Un+1 est strictement inférieur à Un, ce qui signifie que la suite est strictement décroissante. Il est également souligné qu'il est important de distinguer entre le réel Un (la valeur de la suite au rang n) et l'objet suite Un (l'ensemble des valeurs de la suite). L'utilisation de parenthèses pour indiquer l'objet suite est recommandée pour éviter toute confusion.

Conjecture puis récurrence

Dans ce cours, nous avons vu comment utiliser une démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n. La formule à retenir est que la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1)/2. Il est important de noter que pour utiliser cette méthode de démonstration, il faut connaître le résultat que l'on souhaite démontrer. Si vous n'avez aucune idée de la valeur de la somme des entiers naturels, vous ne pourrez pas poursuivre la démonstration. Dans cet exemple, nous allons redémontrer cette formule. Nous posons la proposition p(2n) suivante : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2. Nous supposons que p(2n) est vrai pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels. Nous commençons par l'initialisation en vérifiant que la formule est vraie pour n = 1. En effet, 1 = 1(1 + 1)/2, donc cela est vérifié. Ensuite, nous passons à l'hérédité. Nous supposons que p(2n) est vrai pour un certain n fixé. Nous souhaitons montrer que p(2n + 1) est également vrai, c'est-à-dire que 1 + 2 + ... + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2. Pour cela, nous remplaçons chaque occurrence de n par (n + 1) dans la formule au rang n. Nous obtenons donc (n + 1)(n + 1 + 1)/2, ce qui se simplifie en (n + 1)(n + 2)/2. Ainsi, en appliquant cette méthode de manière itérative, nous parvenons à démontrer que pour tout entier naturel non nul n, la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)/2.

Hérédité : comment démarrer ?

La démonstration par récurrence est un point complexe dans ce cours transcrit d'une vidéo. Il y a deux cas possibles pour montrer l'hérédité. Il est préférable de bien écrire l'hypothèse de récurrence et ce que l'on souhaite démontrer, puis de faire le lien entre les deux. Deux méthodes peuvent être utilisées : partir de l'hypothèse de récurrence et aboutir à Pn+1, ou partir de Pn+1 et se servir de P2n pour conclure. Un exemple simple est donné pour illustrer la différence entre les deux méthodes. On a une suite U définie par récurrence où U0 = 5, U1+1 = 3U1 + 6, et on veut montrer que U1 est strictement positif pour tout n. On pose P2n, qui est Un strictement supérieur à 0, et on montre que P2n est vrai pour tout n. Pour l'initialisation, U0 = 5, ce qui ne pose aucun problème. Pour l'hérédité, on peut choisir de partir de l'hypothèse de récurrence et construire Un+1 à partir de cela en multipliant par 3, ou partir de Pn+1 en utilisant l'égalité Un+1 = 3Un + 6. Les deux méthodes sont possibles, mais cela dépend de l'exercice et de la préférence de chacun. Si une méthode ne fonctionne pas, il est possible d'essayer avec l'autre. Pour plus de questions, il y a une FAQ disponible.

Hérédité mais...

Ce cours porte sur une proposition mathématique et la démonstration de sa validité. L'exercice utilise le principe de récurrence pour montrer que si la propriété est vraie pour un certain rang n, alors elle est également vraie pour le rang suivant n+1. L'accent est mis sur l'importance de bien comprendre l'énoncé et de ne pas surinterpréter les informations fournies. L'exercice montre également qu'il faut prouver l'initialisation pour être sûr

Avec une Somme

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui explique l'importance d'écrire clairement et précisément en mathématiques. L'exemple donné est la démonstration par récurrence d'une formule mathématique. Le professeur utilise des notations et des termes spécifiques pour expliquer le processus de rédaction d'une démonstration mathématique. Il insiste sur la nécessité de suivre les consignes du professeur et de montrer clairement chaque étape du raisonnement. Le professeur utilise également des astuces pour simplifier les calculs, comme factoriser ou utiliser des notations abrégées. La conclusion est que la rédaction soignée et précise est essentielle pour éviter les erreurs et faciliter la compréhension des démonstrations mathématiques.

Majoration 'simple'

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui traite de la démonstration par récurrence. L'objectif est de montrer que pour toute valeur de n appartenant à n étoiles, la propriété est vraie. La démonstration commence par l'initialisation avec n=1, où l'on obtient S1=1. Ensuite, on utilise l'hérédité en supposant que la propriété est vraie pour un certain n et en démontrant qu'elle est aussi vraie pour n+1. On utilise une inégalité pour montrer que Sn+1 est inférieur ou égal à 2-1/n+1. En utilisant des manipulations algébriques, on montre que l'inégalité est vraie et donc que la propriété est héréditaire. En conclusion, on peut affirmer que la propriété est démontrée pour tout n appartenant à n étoiles. Cependant, il est important d'écrire une conclusion pour éviter de perdre des points lors de l'évaluation.

Trop de puissance !

Ce cours concerne une suite définie par un terme initial u0 et une relation de récurrence. Le processus pour calculer les termes de la suite consiste en deux étapes : d'abord avoir une intuition du résultat en calculant u1, u2, u3, etc., puis démontrer cette intuition par récurrence. Pour cela, on écrit une formule générale basée sur les premiers termes de la suite et on la démontre. Dans cet exemple, on montre que la suite est égale à u0 puissance 2 puissance n. On commence par l'initialisation avec n=0, où la formule se simplifie à u0. Ensuite, on utilise la récurrence pour démontrer que Pn implique Pn+1. La démonstration de la récurrence dans cet exemple est assez simple, mais il est important de comprendre la méthode générale pour résoudre ce type d'exercice, en utilisant des intuitions, des essais de premiers termes et des démonstrations par récurrence. Ces compétences seront utiles non seulement pour le supérieur, mais aussi pour le bac.