Cours de Variables aléatoires en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Variables aléatoires

Utiliser un arbre pondéré

Dans ce cours sur les probabilités, on utilise un arbre pondéré pour calculer les probabilités d'événements. On prend l'exemple de Naomi se rendant au lycée en vélo ou en bus, en fonction du temps qu'il fait. On sait que si le temps est ensoleillé, elle prend le vélo 8 fois sur 10, et si le temps est moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. On sait également que dans sa ville, 75% des journées sont insolubles. On cherche à déterminer la probabilité qu'elle prenne le vélo sachant qu'il fait beau, ainsi que la probabilité qu'elle prenne le vélo en général. Pour cela, on utilise la formule des probabilités totales et on trouve que la probabilité qu'elle prenne le vélo est de 72,5%.

Binomiale et tirage avec remise

Ce cours explique comment reconnaître et utiliser la loi binomiale. Il commence par définir le schéma de Bernoulli comme une expérience indépendante avec deux résultats possibles (échec ou réussite). Ensuite, il attribue une variable aléatoire x qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, où n est le nombre de répétitions et p la probabilité de succès. La probabilité que x soit égal à k est calculée en utilisant la formule 1k parmi n fois p puissance k, 1 moins p puissance n moins k. L'exemple donné est celui de tirer des boules noires sur 8 boules, avec un succès de 3 boules noires sur 5 tirages. En utilisant la formule, la probabilité de réussite est trouvée à 20%. La conclusion est que savoir utiliser la loi binomiale est important pour résoudre des problèmes de probabilité.

Représenter un schéma de Bernoulli

Ce cours présente une expérience de vente de livres en librairie où 67% des clients achètent un livre. Grâce à cette expérience répétée 4 fois et avec des clients indépendants, on peut appliquer le schéma de BR8. En utilisant un arbre pour représenter les différentes issues possibles, on peut calculer la probabilité d'avoir exactement 2 acheteurs de livres. Cette méthode est un peu laborieuse, mais peut être simplifiée en utilisant la formule de la loi binomiale.

Classique : produit défectueux en usine

Le cours traite des produits défectueux en usine et des tests indépendants pour déterminer s'ils sont vendables ou non. La probabilité qu'un produit défectueux soit mis en vente est calculée en utilisant les notations V, T1 et T2. La probabilité de vente est P de T1 inter T2, P de T1 fois P de T2 étant donné que les tests sont indépendants. La probabilité qu'au moins trois produits défectueux soient mis en vente dans une répétition de 100 expériences est calculée en utilisant la loi binomiale. La réussite est définie comme la vente, suivant les notations utilisées dans ce cours. Les calculs donnent une probabilité de 38% de chance de ne pas avoir de produits défectueux en vente, 36% de chance d'avoir un seul produit défectueux et 18% de chance d'avoir deux produits défectueux en vente. La probabilité qu'il y ait plus de trois produits défectueux en vente est de 7%. La formule classique de K par millienne, P à la puissance K, et 1 moins P à la puissance N moins K est utilisée pour les calculs.

Seuil de probabilité

Ce sous-chapitre traite des intervalles de fluctuation en relation avec les variables aléatoires et la loi binomiale. Il est essentiel de modéliser des événements et des probabilités dans la vie réelle, et cette modélisation peut être vérifiée avec des intervalles de fluctuation. Grâce à ces tests, on peut déterminer si une modélisation est effectivement précise ou non. À titre d'exemple, en supposant que x est le nombre de spectateurs, s'il y a moins de 10 personnes, une pièce de théâtre ne sera pas jouée. En utilisant la méthode des intervalles de fluctuation et des informations pertinentes sur les paramètres de la loi de probabilité et le seuil, on peut déterminer si la troupe est susceptible de jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. En fin de compte, les intervalles de fluctuation peuvent être utilisés pour évaluer les modèles probabilistes dans la vie réelle.

Déterminer un intervalle de fluctuation

Nous cherchons à déterminer un intervalle de fluctuation centré pour une variable aléatoire X, avec n = 40, p = 0,2 et α = 0,05. Pour cela, nous calculons α/2, soit 0,025. Nous cherchons ensuite deux bornes k et i, telles que P(X<k) > 0,025 et P(X<i) > 0,025. Nous sommes ainsi en mesure de déterminer que k = 3 et i = 13. L'intervalle de fluctuation centré associé à X au seuil 0,095 est donc de 3 à 13, ce qui signifie que nous avons 95% de chances que X se situe dans cette plage.

Classique : efficacité d'un médicament ?

L'exercice consiste à calculer l'intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% pour un médicament qui est efficace à 90% en prenant 400 patients malades. La loi G suit une loi binomiale de paramètres n égale 400 et p égale 0,9. On utilise la méthode de tâtonnement pour trouver la plus petite valeur de G telle que p de G inférieure à K, soit plus petite que 0,025 et la plus petite valeur de K telle que p de G inférieure à K soit inférieure à 0,975. On trouve que 95% de chance que le nombre de patients guéris soit situé entre 87% et 92,5%. L'hypothèse est donc validée et la borne inférieure de l'intervalle est de 87%. C'est un exercice typique de calcul d'intervalle de fluctuation pour l'efficacité d'un médicament.

Schéma de Bernoulli

Le cours porte sur la reconnaissance et l'utilisation de la loi binomiale. Pour cela, il est nécessaire de suivre deux étapes principales. Tout d'abord, il faut identifier un chemin de Bernoulli, qui est une expérience répétée plusieurs fois de manière indépendante, et qui comporte deux résultats possibles (succès ou échec). Ensuite, il faut attribuer une variable aléatoire x qui représente le nombre de succès. Cette variable suit une loi binomiale avec les paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). La formule utilisée pour calculer la probabilité que x soit égal à k est k parmi n fois p à la puissance k, multiplié par 1 moins p à la puissance n moins k. Dans l'exemple donné, il s'agit de tirages successifs et indépendants de boules noires. Le paramètre est de 3 boules noires sur 8 boules, soit une probabilité de réussite de 3 huitièmes. La variable x, qui compte le nombre de boules noires obtenues, suit donc une loi binomiale avec n égal à 5 et p égal à 3 huitièmes. En effectuant les calculs, on trouve une probabilité de 20% pour x égal à 3. C'est ainsi qu'on reconnaît et utilise la loi binomiale. Pour plus d'informations, consultez la FAQ.

Calcul brut de probabilités

Dans ce cours, nous commençons à effectuer les premiers calculs avec la loi binomiale. Pour cela, nous avons besoin d'une calculatrice. La loi binomiale que nous utilisons a un grand X qui suit la loi avec les paramètres n = 50 et p = 0,23. Nous devons calculer trois probabilités. La première probabilité est que p soit strictement inférieur à 12, ce qui est équivalent à la probabilité que x soit inférieur ou égal à 11. Cette donnée peut être obtenue sur toutes les calculatrices graphiques du lycée. En utilisant la calculatrice, nous obtenons un résultat de 0,512. Si nous n'avons pas de calculatrice, il faudrait faire la somme des probabilités de x égale à 1, plus la probabilité de x égale à 2, etc., jusqu'à x égale à 11. Cependant, cela serait fastidieux. C'est pourquoi lorsque nous vous posons cette question, vous avez le droit d'utiliser la calculatrice. Nous aurions également pu vous demander une probabilité sans calculatrice, telle que p de x inférieur à 3. Faire la somme de trois probabilités n'est pas non plus compliqué. Pour la probabilité que x soit supérieur ou égal à 4, je considère plutôt l'événement contraire, qui est l'événement contraire de x inférieur ou égal à 3. Nous pouvons calculer cette probabilité en utilisant 1 moins la probabilité de x inférieur à 3. En utilisant la calculatrice, nous obtenons un résultat de 0,999. Ensuite, nous devons calculer la probabilité que x soit compris entre 5 et 8. Cela revient à calculer la différence entre x inférieur ou égal à 8 et x inférieur ou égal à 5. En utilisant la calculatrice, nous obtenons un résultat. Une autre méthode consiste à considérer que x compris entre 5 et 8 signifie qu'il peut prendre les valeurs 6 ou 7. Nous pouvons donc ajouter les probabilités de x égale à 6 et x égale à 7, ce qui donne un résultat de 0,14. Heureusement, les deux méthodes donnent le même résultat. C'est tout pour les calculs avec la loi binomiale en utilisant la calculatrice. Il suffit de s'assurer que vous connaissez la bonne fonction à utiliser, ce qui est assez facile à trouver. Vous pouvez demander à vos camarades, consulter la FAQ de votre modèle de calculatrice ou chercher sur Google. Les trois méthodes fonctionnent.

Espérance et écart-type : graphique

Dans ce cours, nous apprenons comment utiliser les diagrammes en barre pour les lois binomiales. Dans le premier exemple, nous avons une loi binomiale avec une probabilité de succès de 0,4, mais nous ne connaissons pas la valeur de N. Nous devons estimer l'espérance. La loi binomiale n'est symétrique que lorsque la probabilité est de 0,5, donc nous estimons que l'espérance est centrée autour de 10. En utilisant la formule de l'espérance (E2x), nous estimons que N est égal à 25. Dans le deuxième exemple, nous devons comparer deux lois binomiales. Nous remarquons que l'une est plus recentrée que l'autre, ce qui signifie que son écart-type est plus faible. L'écart-type mesure l'écart à la moyenne, et plus il est élevé, plus les valeurs sont loin de l'espérance. Les valeurs importantes à retenir sont l'espérance (NxP), la variance (NPx-P), et l'écart-type (racine carrée de la variance). Enfin, dans un exercice supplémentaire, nous cherchons à déterminer quelle valeur de P est la plus faible. En utilisant la fonction f2x égale à x fois 1-x, nous trouvons que l'écart-type maximum est atteint lorsque la probabilité vaut 1,5. Cela est dû au fait qu'il y a autant de chances d'échec que de réussite, ce qui peut entraîner des résultats très différents. En résumé, ce cours explique comment utiliser les diagrammes en barre pour les lois binomiales, estimer l'espérance et comparer différentes lois binomiales en fonction de leur écart-type.

Déterminer le + grand entier

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice sur les variables aléatoires suivant des lois binomiales. L'énoncé demande de trouver le plus grand entier k tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k soit supérieur ou égal à 0,9. Pour résoudre cet exercice, Corentin observe que la probabilité diminue lorsque k augmente car l'ensemble X supérieur ou égal à k devient de plus en plus petit. Son approche consiste donc à chercher le cas où la probabilité que X soit supérieur ou égal à k+1 est strictement inférieure à 0,9 et la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. En utilisant sa calculatrice, Corentin trouve que la probabilité que X soit supérieur ou égal à 22 est égal à 0,80, celle de 21 est égal à 0,89 et celle de 20 est égal à 0,95. Il en conclut que le plus grand entier k qui satisfait les conditions est 20.